Question

（2011•杭州一模）等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=1，BC=5，∠C=α，E为AB中点，EF∥CD交BC于F，则EF=

1

cosα

．（用含α的代数式表示）．

Answer 1

分析：根据题意画出图形，过点A作AG∥CD交BC于点G，连接AF，由AG∥CD，AD∥BC可知，四边形AGCD是平行四边形，故可得出∠AGB=∠C=α，AG=CD，再由AB=CD可知AB=AG，由EF∥CD可知EF∥AG，故可得出EF是△ABG的中位线，由等腰三角形的性质可知AF⊥BC，故AG=

FG

cosα

，再由三角形中位线定理即可得出结论．

解答：解：如图所示：过点A作AG∥CD交BC于点G，连接AF，
∵AG∥CD，AD∥BC，
∴四边形AGCD是平行四边形，
∴∠AGB=∠C=α，AG=CD，BG=BC-AD=5-1=4，
∵AB=CD，
∴AB=AG，
∵EF∥CD，
∴EF∥AG，
∴EF是△ABG的中位线，
∴AF⊥BC，FG=2，
∴AG=

FG

cosα

=

2

cosα

，
∴EF=

1

2

×

2

cosα

=

1

cosα

．
故答案为：

1

cosα

．

点评：本题考查的是等腰梯形的性质及三角形中位线定理，根据题意作出辅助线，构造出平行四边形及等腰三角形是解答此题的关键．