Question

【题目】已知：如图1，图2，在平面直角坐标系xOy中，A（0，4），B（0，2），点C在x轴的正半轴上，点D为OC的中点．

（1）求证：BD∥AC；
（2）如果OE⊥AC于点E，OE=2时，求点C的坐标；
（3）如果OE⊥AC于点E，当四边形ABDE为平行四边形时，求直线AC的解析式．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵A（0，4），B（0，2），

∴OA=4，OB=2，点B为线段OA的中点，

∵点D为OC的中点．

∴BD∥AC．

（2）

解：∵OE⊥AC于点E，

∴△AOE是直角三角形．

∵OA=4，OE=2= OA，

∴∠OAE=30°．

∵∠AOC=90°，∠OAC=30°，

∴AC=2OC．

在Rt△AOC中，由勾股定理可得：OC2+OA2=AC2，

即OC2+16=4OC2，解得：OC= ，

∵点C在x轴的正半轴上，

∴点C的坐标为（ ，0）

（3）

解：连接BE，如图所示．

当四边形ABDE为平行四边形时，DE∥AB，DE=AB．

由（1）知点B为线段OA的中点，

∴DE∥OB，DE=OB，

∴四边形ODEB是平行四边形，

∵OB⊥OC，

∴ODEB是矩形．

∵BD∥AC，OE⊥AC，

∴OE⊥BD，

∴矩形ODEB是正方形，

∴OD=OB=2．

∵点D为OC的中点，

∴OC=2OD=4，

∵点C在x轴的正半轴上，

∴点C的坐标为（4，0）．

设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），

把点A（0，4）、C（4，0）代入y=kx+b中，

得： ，解得： ，

∴直线AC的解析式为y=﹣x+4．

【解析】（1）由点A、B的坐标可得出点B为线段OA的中点，再结合点D为线段OC的中点，即可证得BD∥AC；（2）在Rt△AOE中，由OA、OE的长即可得出∠OAE的度数，在Rt△AOC中可得出AC、OC的关系，再利用勾股定理即可得出OC的长度，根据点C的位置即可得出点C的坐标；（3）连接BE，根据正方形的判定即可得出四边形ODEB是正方形，由正方形的性质即可得出点D的坐标，进而得出点C的坐标，再根据点A、C的坐标利用待定系数法即可求出直线AC的解析式．
【考点精析】本题主要考查了勾股定理的概念的相关知识点，需要掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2才能正确解答此题．