Question

20．如图，BC是⊙O的直径，弦AE⊥BC，垂足为D点，$\widehat{AB}$=$\frac{1}{2}$$\widehat{BF}$，AE与BF相交于G点．
求证：（1）$\widehat{BE}$=$\widehat{EF}$；
（2）BG=GE．

Answer 1

分析 （1）根据垂径定理得到$\widehat{AB}$=$\widehat{BE}$，等量代换即可得到结论；
（2）连接BE，等量代换得到$\widehat{AB}$=$\widehat{EF}$，根据圆心角、弧、弦的关系得到∠AEB=∠EBF，根据等腰三角形的判定即可得到结论．

解答 证明：（1）∵BC是⊙O的直径，弦AE⊥BC，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{BE}$，
∵$\widehat{AB}$=$\frac{1}{2}$$\widehat{BF}$，
∴$\widehat{BE}$=$\frac{1}{2}$$\widehat{BF}$，
∴$\widehat{BE}$=$\widehat{EF}$；
（2）连接BE，
∵$\widehat{AB}$=$\widehat{BE}$，$\widehat{BE}$=$\widehat{EF}$，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{EF}$，
∴∠AEB=∠EBF，
∴BG=GE．

点评 本题考查了垂径定理，圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，正确的作出辅助线是解题的关键．