Question

如图，?ABCD中对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）连接AF、CE，试判断四边形AECF是什么特殊的四边形？写出结论并加以证明．

Answer 1

分析：（1）根据有两角和一个角的对边相等即可证明：△ABE≌△CDF；
（2）连接AF、CE，试判断四边形AECF是平行四边形，可先证明△AOF≌△COE，可得OF=OE，又有OA=OC，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得四边形AFCE是平行四边形．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AB∥DC，
∴∠ABE=∠CDF，
∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，
∵在△ABE和△CDF中，

∠ABE=∠CDF ∠AEB=∠DFC=90° AB=DC

，
∴△ABE≌△CDF（AAS）；

（2）连接AF、CE，试判断四边形AECF是平行四边形，
理由如下：
证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEO=∠CFO．
又∵∠AOE=∠COF，
∴OA=OC，
∵在△AOE和△COF中，

OA=OC ∠AEO=∠CFO ∠AOE=∠COF

，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OF=OE．
又∵OA=OC，
∴四边形AFCE是平行四边形．

点评：本题考查了平行四边形的性质和判定，其中平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．