Question

【题目】如图，已知抛物线经过点A（1,0）和点B （0，-3），与x轴交于另一点C。

（1）求抛物线的解析式。

（2）在抛物线上是否存在一点D，使△ACD的面积与△ABC的面积相等（点D不与点B重合）？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。

（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是抛物线对称轴上的动点，那么是否存在这样的点P，使以点A、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

【答案】(1)抛物线的解析式为:. (2)D（-2，-3）（-1±，3）(3) P（-5，12）（3，12）（-1，-4）

【解析】

（1）由待定系数法，把点A、B代入解析式，求出a、b的值，即可得到答案；

（2）先求出点C的坐标，得到AC和OB的长度，计算出面积，根据面积相等，则设D点坐标为（x，y），求出y的值，然后代入二次函数解析式求出x，即可得到答案；

（3）根据题意，可分为AC为对角线和AC为边长，两种情况进行讨论，然后根据平行四边形的性质，即可求出P点坐标.

解：（1）把点A （1，0）和点B （0，-3）代入二次函数解析式，则

，解得：，

∴抛物线的解析式为：.

（2）存在；

由（1）可知，二次函数的对称轴为：，

∴点C坐标为：（-3，0），

∴AC=4，OB=3，

∴△ABC的面积为：；

设点D坐标为（x，y），则

，

解得：，

∴.

当时，有，

解得：，

∴点D为：（-1±，3）；

当时，有，

解得：，

当时为点B，舍去，

∴点D为（）；

综合上述，点D的坐标为：（-1±，3）或（）；

（3）存在；

以点A、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，则分为两种情况：

当AC为对角线时，如图：此时点P在对称轴上，且点P为抛物线的顶点；

当时，代入抛物线解析式，得

，

则点P坐标为：（）；

②当AC为边长时，如图，此时PQ∥AC，PQ=AC=4，

，

∵点Q在直线上，

∴点P的横坐标为：或，

当时，有，

∴点P为：（3，12）；

当时，有，

∴点P为：（-5，12）；

综合上述，点P的坐标为：（-5，12）或（3，12）或（-1，-4）.