【题目】如图①，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．
探究：在下面两种条件下，线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明．
①AN=NC（如图②）； ②DM//AC（如图③）．
思考：若点M、N分别是射线AB、CA上的点，其它条件不变，再探线段BM、MN、NC之间的关系，在图④中画出图形，并说明理由．
【答案】(1)MN=NC+BM，证明见解析
（2）MN=NC-BM，证明见解析
【解析】
本题是一个典型的“半角旋转”模型。①和②情况其实是一样的，延长AC至E，使得CE=BM并连接DE，构造全等三角形，找到MD=DE，∠BDM=∠CDE，BM=CE，再进一步证明△DMN≌△DEN，进而得到MN=BM+NC；
思考题：MN=NC-BM．仿（1）的思路运用截长法证明．
（1）MN=BM+NC．理由如下：
延长AC至E，使得CE=BM，连接DE，如图所示：
∵△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，
∴BD=CD，∠DBC=∠DCB，∠MBC=∠ACB=60°，
又BD=DC，且∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°，
∴∠MBD=∠ECD=90°．
∴△MBD≌△ECD（SAS），
∴MD=DE，∠BDM=∠CDE，BM=CE，
又∵∠BDC=120°，∠MDN=60°，
∴∠BDM+∠NDC=∠BDC-∠MDN=60°，
∴∠CDE+∠NDC=60°，即∠NDE=60°，
∵∠MDN=∠NDE=60°．
∴△DMN≌△DEN（SAS），
∴MN=EN．
又NE=NC+CE，BM=CE，
∴MN=BM+NC；
（2）MN=NC-BM．
证明：在CA上截取CE=BM．
由（1）知：∠DCE=∠DBM=90°，DC=DB．
又CE=BM，
∴△DCE≌△DBM （SAS）
∴∠CDE=∠BDM，DM=DE．
∴∠MDN=∠EDN=60°．
∴△MDN≌△EDN （SAS）
∴NM=NE．
∵NE=NC-CE，CE=BM，
∴MN=NC-BM．
优学名师名题系列答案科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，一架云梯长25 m，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端距地面24 m.
(1)这个梯子底端离墙有多少米？
(2) 如果梯子的顶端下滑了4m，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4m吗?为什么?
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【题目】作图题：已知点A,点B,直线l及l上一点M.
（1）如图1，连接MA，并在直线l上作出一点N，使得点N在点M的左边，且满足MN=MA,作线段MN的中点C,连接BC；
（2）如图2，请在直线l上确定一点O，使点O到点A与点O到点B的距离之和最短，并写出画图的依据.
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【题目】如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，且AE＝CF.
(1)求证：四边形BEDF是菱形；
(2)若正方形ABCD的边长为4，AE＝
，求菱形BEDF的面积．
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【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，BD=CE.
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A=50°时，求∠DEF的度数.
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【题目】让我们一起来探究“边数大于或等于3的多边形的内角和问题”．
规定：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线．
尝试：从多边形某一个顶点出发的对角线可以把一个多边形分成若干个三角形，……．这样，就把“多边形内角和问题”转化为“三角形内角和问题”了．……
(1)请你在下面表格中，试一试，做一做，并将表格补充完整：
名称 | 图形 | 内角和 |
三角形 |
| 180° |
四边形 |
| 2 |
五边形 |
| |
六边形 |
| |
．．． | ．．． | …… |
(2)根据上面的表格，请你猜一猜，七边形的内角和等于 ；……．如果一个多边形有n条边，请你用含有n的代数式表示这个多边形的内角和 ．
(3)如果一个多边形的内角和是1260°，请判断这个多边形是几边形．
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【题目】窗户的形状如图所示（图中长度单位：cm），其上部是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形，已知下部小正方形的边长是acm，计算：
（1）窗户的面积；
（2）窗户的外框的总长．
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【题目】现有A,B两枚均匀的骰子(骰子的每个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6).以小莉掷出A骰子正面朝上的数字为x、小明掷出B骰子正面朝上的数字为y来确定点P(x,y),那么它们各掷一次所确定的点P在已知抛物线y=-x2+5x上的概率为__.
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