Question

2．一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根为x₁和x₂，求：
（1）|x₁-x₂|和$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$
（2）x₁³+x₂³．

Answer 1

分析 （1）利用|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$，$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$-\frac{b}{2a}$分别求解即可，
（2）利用x₁³+x₂³=（x₁+x₂）（${{x}_{1}}^{2}$-x₁•x₂+${{x}_{2}}^{2}$）=（x₁+x₂）[（x₁+x₂）²-3x₁•x₂]求解即可．

解答 解：∵一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根为x₁和x₂，
∴x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$，
（1）|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{4c}{a}}$=$\frac{\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{|a|}$，
$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$-\frac{b}{2a}$，
（2）x₁³+x₂³=（x₁+x₂）（${{x}_{1}}^{2}$-x₁•x₂+${{x}_{2}}^{2}$）=-$\frac{b}{a}$[（x₁+x₂）²-3x₁•x₂]=-$\frac{b}{a}$（$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{3c}{a}$）=-$\frac{{b}^{3}}{{a}^{3}}$+$\frac{3bc}{{a}^{2}}$．

点评 本题主要考查了根与系数的关系．解题的关键是熟记x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．