Question

已知抛物线抛物线y _n=-(x-a_n)²+a_n（n为正整数，且0<a₁<a₂<…<a_n）与x轴的交点为A_n-1（b_n-1,0）和A_n(b_n，0)，当n=1时，第1条抛物线y₁=-(x-a₁)²+a₁与x轴的交点为A₀（0，0）和A₁（b₁，0），其他依此类推．

（1）求a₁,b₁的值及抛物线y₂的解析式；

（2）抛物线y₃的顶点坐标为（     ，     ）；

     依此类推第n条抛物线y_n的顶点坐标为（       ，      ）;

     所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系是                  ；

（3）探究下列结论：

     ①若用A_n-1A_n表示第n条抛物线被x轴截得得线段长，直接写出A₀A₁的值，并求出A_n-1A_n；

②是否存在经过点A（2，0）的直线和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得得线段的长度都相等？若存在，直接写出直线的表达式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）∵y₁=—(x—a₁)²+a₁与x轴交于点A₀（0，0），

∴—a₁²+ a₁=0，∴a₁=0或1．

由已知可知a₁>0，

∴a₁=1．

即y₁=—(x—1)²+1

方法一：令y₁=0代入得：—(x—1)²+1=0，

∴x₁=0，x₂=2，

∴y₁与x轴交于A₀（0，0），A₁（2，0）

∴b₁=2，

方法二：∵y₁=—(x—a₁)²+a₁与x轴交于点A₀（0，0），

        ∴—(b₁—1)²+1=0，b₁=2或0，b­₁=0（舍去）．

∴b₁=2．

又∵抛物线y₂=—(x—a₂)²+a₂与x轴交于点A₁（2，0），

∴—(2—a₂)²+ a₂=0，

∴a₂=1或4，∵a₂> a₁，∴a₂=1（舍去）．

∴取a₂=4，抛物线y₂=—(x—4)²+4．

（2）（9，9）；

（n²，n²）

y=x．

详解如下：

∵抛物线y₂=—(x—4)²+4令y₂=0代入得：—(x—4)²+4=0，

∴x₁=2，x₂=6．

∴y₂与x轴交于点A₁（2，0），A₂（6，0）．

又∵抛物线y₃=—(x—a₃)²+a₃与x轴交于A₂（6，0），

∴—(6—a₃)²+a₃=0

∴a₃=4或9，∵a₃> a₃，∴a₃=4（舍去），

即a₃=9，∴抛物线y₃的顶点坐标为（9，9）．

由抛物线y₁的顶点坐标为（1，1），y₂的顶点坐标为（4，4），y₃的顶点坐标为（9，9），依次类推抛物线y_n的顶点坐标为（n²，n²）．

∵所有抛物线的顶点的横坐标等于纵坐标，

∴顶点坐标满足的函数关系式是：y= x；

③∵A₀（0，0），A₁（2，0），

∴A₀ A₁=2．

又∵y_n=—(x—n²)²+n²，

令y_n=0，

∴—(x—n²)²+n²=0，

即x₁=n²+n，x₂=n²－n，

∴A _n－1(n²－n，0)，A _n(n²+n，0)，即A _n－1 A _n=( n²+n)－( n²－n)=2 n．

②存在．是平行于直线y=x且过A₁（2，0）的直线，其表达式为y=x－2．

【考点解剖】 本题考查了二次函数的一般知识，求字母系数、解析式、顶点坐标；字母表示数（符号意识），数形结合思想，规律探究，合情推理，解题方法的灵活性等等，更重要的是一种胆识和魄力，敢不敢动手，会不会从简单，从特殊值入手去探究一般规律，画一画图帮助思考，所有这些都是做学问所必需的品质和素养，也是新课程改革所倡导的精神和最高境界．

【解题思路】  （1）将A₀坐标代入y₁的解析式可求得a₁的值；a₁的值知道了y₁的解析式也就确定了，已知抛物线就可求出b₁的值，又把（b₁，0）代入y₂，可求出a₂ ，即得y₂的解析式；（2）用同样的方法可求得a₃ 、a₄ 、a₅ ……由此得到规律，所以顶点坐标满足的函数关系式是：y= x；（3）由（2）可知得; 最后一问我们会猜测这是与直线y=x平行且过A（2，0）的一条直线，用特殊值法取得和，得所截得的线段长度为，换一组抛物线试试，求出的值也为（当然用字母来运算就是解得和，求得所截得的线段长度也为）.

【解答过程】   略.

【方法规律】  掌握基础（知识），灵活运用（方法），敢于动手，不畏艰难.

【关键词】   二次函数   抛物线   规律探究