Question

如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，BE⊥AC于E，DF⊥AC于
F，点O既是AC的中点，又是EF的中点．

(1)求证：△BOE≌△DOF；
(2)若OA＝BD，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请说明理由．

Answer 1

（1）证明见解析（2）矩形，理由见解析

解：（1）证明：∵BE⊥AC．DF⊥AC，∴∠BEO=∠DFO=90°。
∵点O是EF的中点，∴OE=OF。
又∵∠DOF=∠BOE，∴△BOE≌△DOF（ASA）。
（2）四边形ABCD是矩形。理由如下：
∵△BOE≌△DOF，∴OB=OD。
又∵OA=OC，∴四边形ABCD是平行四边形。
∵OA=BD，OA=AC，∴BD=AC。∴平行四边形ABCD是矩形。
（1）根据垂直可得∠BEO=∠DFO=90°，再由点O是EF的中点可得OE=OF，再加上对顶角
∠DOF=∠BOE，可利用ASA证明△BOE≌△DOF。
（2）根据△BOE≌△DOF可得DO=BO，再加上条件AO=CO可得四边形ABCD是平行四边形，再证明DB=AC，可根据对角线相等的平行四边形是矩形证出结论。