Question

7．如图，在直角坐标系中，半径为$\sqrt{5}$，圆心为M的⊙M经过A，B，C三点，已知点M的纵坐标为-1，点C的坐标为（0，3），OA：OB=1：3，⊙M与y轴交于点D
（1）求A，B，D，M的坐标
（2）若点E是过A，B，C三点的抛物线的顶点，求证：△BCE是直角三角形；
（3）设∠CBE=β，求sin（45°-β）的值；
（4）探究坐标轴上是否存在点P，使得以点P，A，C为顶点的三角形与三角形BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据题意与图象可得点C的坐标，根据圆的性质可得点B的坐标，根据对称轴方程与点B的坐标；
（2）首先利用待定系数法确定二次函数的解析式，然后确定顶点E的坐标，从而求得CF=EF=1，从而说明△BCE是直角三角形；
（3）由抛物线的解析式可求得点A，E，B，C，D的坐标，判断Rt△BOD∽Rt△BCE，得∠CBE=∠OBD=β，因此sin（α-β）=sin（∠DBC-∠OBD）=sin∠OBC=$\frac{CO}{BC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（4）由于以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似，利用△BCE的特征得到△PAC为直角三角形，且两直角边的比为1：3，然后分类讨论：当∠APC=90°时，点P与点O重合，得到P点坐标为（0，0）；当∠PAC=90°时，作AP₁⊥AC交y轴于P₁，如图，证明Rt△AOP₁∽Rt△COA，利用相似比计算出OP₁，得到P₁的坐标；当∠ACP=90°时，作CP₂⊥AC交y轴于P₂，如图，证明Rt△COP₂∽Rt△AOC利用相似比计算出OP₂，得到P₂的坐标．

解答 解：如图1，过点M作MN⊥x轴于点N，

连接MB，则AN=BN，
在Rt△MNB中，$BN=\sqrt{B{M^2}-N{M^2}}$，
=$\sqrt{{{（{\sqrt{5}}）}^2}-1}=2$，
AB=4，
∵OA：OB=1：3，
∴$OA=\frac{1}{4}AB=\frac{1}{4}×4=1$，
∴A（-1，0），B（3，0），M（1，-1），
∵OB=OC=3，
AB⊥CD，∠AOC=∠DOB，
∠ACO=∠DBO，
∴△AOC≌△DOB，
∴DO=AO=1，
∴D（0，1）；

（2）如图，设经过A，B，C三点的抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），
将点（0，3）代入得，3=a（0+1）（0-3），
解得：a=1y=（x+1）（x-3）=x²-2x-3=（x-1）²-4，
抛物线的顶点坐标为（1，-4），
连接BE，CE，
过点E作EF⊥y轴，
可知OF=4，
∵OC=3，
CF=1，EF=1，
∴∠FCE=45°，
∴∠OCB=45°，
∴∠BCE=90°，
∴△BCE为直角三角形；

（3）如图2，

连接BM并延长交⊙M于点G，
连接AG，
BG为⊙M的直径，
则∠BCG=90°，∠GAB=90°，
∵∠BCE=90°，
∴G，C，E三点在同一条直线上，
可求得，BE=$2\sqrt{5}$
BG=$2\sqrt{5}$
∵BE=BG，BC=BC，
Rt△BGC≌Rt△BEC，
∠GBC=∠EBC，
∴∠ABG=45°-α，
Rt△ABG中，$AG=\sqrt{G{B^2}-A{B^2}}=\sqrt{{{（{2\sqrt{5}}）}^2}-{4^2}}$
=2，
∴sin（45°-β）=$\frac{2}{{2\sqrt{5}}}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$；

（4）存在．
∵以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似，
∴△PAC为直角三角形，且两直角边的比为1：3，
当∠APC=90°时，点P与点O重合，此时P点坐标为（0，0）；
当∠PAC=90°时，作AP₁⊥AC交y轴于P₁，如图3，
∵∠P₁AO+∠CAO=90°，
∠P₁AO+∠AP₁O=90°，
∴∠CAO=∠AP₁O，
∴Rt△AOP₁∽Rt△COA
∴OA²=OP₁•OC，
∴OP₁=$\frac{1}{3}$，
∴P₁的坐标为（0，$\frac{1}{3}$）；
当∠ACP=90°时，作CP₂⊥AC交y轴于P₂，如图3，
同样可证明Rt△COP₂∽Rt△AOC得到OC²=OP₂•OA，
∴OP₂=9，
∴P₂的坐标为（9，0），
综上所述，满足条件的P点坐标为（0，0），（0，$\frac{1}{3}$），（9，0）．

点评 本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆的定义、垂径定理和相似三角形的判定与性质；会利用两点间的距离公式计算线段的长，综合性强，难度较大．