Question

7．已知△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，C为它们的公共直角顶点，D、E分别在BC、AC边上．
（1）如图1，F是线段AD上的一点，连接CF，若AF=CF；
①求证：点F是AD的中点；
②判断BE与CF的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）如图2，把△DEC绕点C顺时针旋转α角（0＜α＜90°），点F是AD的中点，其他条件不变，判断BE与CF的关系是否不变？若不变，请说明理由；若要变，请求出相应的正确结论．

Answer 1

分析 （1）①如图1，由AF=CF得到∠1=∠2，则利用等角的余角相等可得∠3=∠ADC，然后根据等腰三角形的判定定理得FD=FC，易得AF=FD；
②先利用等腰直角三角形的性质得CA=CB，CD=CE，则可证明△ADC≌△BEC得到AD=BE，∠1=∠CBE，由于AD=2CF，∠1=∠2，则BE=2CF，再证明∠CBE+∠3=90°，于是可判断CF⊥BE；
（2）延长CF到G使FG=CF，连结AG、DG，如图2，易得四边形ACDG为平行四边形，则AG=CD，AG∥CD，于是根据平行线的性质得∠GAC=180°-∠ACD，所以CD=CE=AG，再根据旋转的性质得∠BCD=α，所以∠BCE=∠DCE+∠BCD=90°+α=90°+90°-∠ACD=180°-∠ACD，得到∠GAC=∠ECB，接着可证明△AGC≌△CEB，得到CG=BE，∠2=∠1，所以BE=2CF，和前面一样可证得CF⊥BE．

解答 （1）①证明：如图1，
∵AF=CF，
∴∠1=∠2，
∵∠1+∠ADC=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠3=∠ADC，
∴FD=FC，
∴AF=FD，
即点F是AD的中点；
②BE=2CF，BE⊥CF．理由如下：
∵△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，
∴CA=CB，CD=CE，
在△ADC和△BEC中
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△BEC，
∴AD=BE，∠1=∠CBE，
而AD=2CF，∠1=∠2，
∴BE=2CF，
而∠2+∠3=90°，
∴∠CBE+∠3=90°，
∴CF⊥BE；
（2）仍然有BE=2CF，BE⊥CF．理由如下：
延长CF到G使FG=CF，连结AG、DG，如图2，
∵AF=DF，FG=FC，
∴四边形ACDG为平行四边形，
∴AG=CD，AG∥CD，
∴∠GAC+∠ACD=180°，即∠GAC=180°-∠ACD，
∴CD=CE=AG，
∵△DEC绕点C顺时针旋转α角（0＜α＜90°），
∴∠BCD=α，
∴∠BCE=∠DCE+∠BCD=90°+α=90°+90°-∠ACD=180°-∠ACD，
∴∠GAC=∠ECB，
在△AGC和△CEB中
$\left\{\begin{array}{l}{AG=CE}\\{∠GAC=∠ECB}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△AGC≌△CEB，
∴CG=BE，∠2=∠1，
∴BE=2CF，
而∠2+∠BCF=90°，
∴∠BCF+∠1=90°，
∴CF⊥BE．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的性质．