Question

如图，已知正△ABC的顶点B（1，0），C（3，0），过原点O的直线分别与边AB，AC交于点M、N，若OM=MN，则点M的坐标为（　　）

• A．(

  5

  2

  ，

  1

  2

  )
• B．(

  5

  2

  ，

  3

  2

  )
• C．(

  5

  4

  ，

  3

  2

  )
• D．(

  5

  4

  ，

  3

  4

  )

Answer 1

分析：从OM=MN结合点B和点C的坐标求得AN等于1，并结合等边△ABC点B和点C的坐标，从而求得点M坐标．

解答：解：∵B（1，0），C（3，0），
∴OB=1，OC=3，
∴BC=2，
过点N作EN∥OC交AB于E，过点A作AD⊥BC于D，NF⊥BC于F，
∴∠ENM=∠BOM，
∵OM=NM，∠EMN=∠BMO，
∴△ENM≌△BOM，
∴EN=OB=1，
∵△ABC是正三角形，
∴AD=

3

，BD=

1

2

BC=1，
∴OD=2，
∴A（2，3），
∴△AEN也是正三角形，
∴AN=EN=1，
∴AN=CN，
∴N(

5

2

，

3

2

)；
∴M（

5

2

×

1

2

，

3

2

×

1

2

）（OM=NM，即点M是ON的中点），即M(

5

4

，

3

4

)；
故选D．

点评：本题考查等边三角形的性质，解题时，根据OM=MN得到线段间的数量关系，从而解得AN得1，进而求得点M的坐标．