Question

19．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，
（1）AB=5；
（2）若经过点C且与边AB相切的动圆与边CB、CA分别相交于点E、F，则线段EF长度的取值范围是$\frac{12}{5}$≤EF＜4．

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理即可得到结论；
（2）根据90°的圆周角所对的弦为直径得出EF为圆的直径，又圆与AB相切，设切点为D，可知当CD⊥AB时，根据点到直线的垂线段最短可得CD最短，此时EF亦最小，由三角形ABC为直角三角形，根据直角三角形的三边长，利用面积法即可求出CD的长，即为EF的最小值，当E点与C点重合时，EF最大，最大值为4．

解答 解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
故答案为：5；
（2）解：取EF的中点O，作OG⊥AB于G，CH⊥AB于H，连结OC，如图，
∵$\frac{1}{2}$CH•AB=$\frac{1}{2}$BC•AC，
∴CH=$\frac{3×4}{5}$=2.4，
∵∠ECF=90°，
∴EF为经过点C且与边AB相切的圆的直径，点O为圆心，
∵AB为⊙O的切线，
∴OG为⊙O的半径，
∴EF=OC+OG，
当OC、OG共线时，OC+OG的值最小，最小值为CH的长，
∴EF的最小值为2.4，
当E点与C点重合时，EF最大，最大值为4，
∴线段EF的取值范围为$\frac{12}{5}$≤EF＜4．
故答案为：$\frac{12}{5}$≤EF＜4．

点评 此题考查了真相与圆的位置关系，圆周角定理，垂线段最短以及切线的性质，解题的关键是根据题意得出EF为圆的直径，故当CD是直径时EF最小．