Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP.

（1）求证：直线CP是⊙O的切线；

（2）若BC=2，sin∠BCP=，求⊙O的半径及△ACP的周长.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）20.

【解析】

（1）欲证明直线CP是⊙O的切线，只需证得CP⊥AC；

（2）利用正弦三角函数的定义求得⊙O的直径AC=5，则⊙O的半径为.如图，过点B作BD⊥AC于点D，构建相似三角形：△CAN∽△CBD，所以根据相似三角形的对应边成比例求得线段BD=4；然后在直角△BCD中，利用勾股定理可以求得CD=2，所以利用平行线分线段成比例分别求得线段PC、PB的长度．则△ACP的周长迎刃可解了．

（1）证明：连接AN，

∵∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，

∵AC是⊙O的直径，∴AN⊥BC，

∴∠CAN=∠BAN，BN=CN，

∵∠CAB=2∠BCP，

∴∠CAN=∠BCP．

∵∠CAN+∠ACN=90°，

∴∠BCP+∠ACN=90°，

∴CP⊥AC

∵OC是⊙O的半径

∴CP是⊙O的切线；

（2）∵∠ANC=90°，sin∠BCP=，

∴=，

∴AC=5，

∴⊙O的半径为.

如图，过点B作BD⊥AC于点D．

由（1）得BN=CN=BC=，

在Rt△CAN中，AN=，

在△CAN和△CBD中，

∠ANC=∠BDC=90°，∠ACN=∠BCD，

∴△CAN∽△CBD，

∴，

∴BD=4．

在Rt△BCD中，CD=，

∴AD=AC-CD=5-2=3，

∵BD∥CP，

∴，，

∴CP=，BP=

∴△APC的周长是AC+PC+AP=20．