Question

如图，已知四边形ABCD是矩形，且MO=MD=4，MC=3．
（1）求直线BM的解析式；
（2）求过A、M、B三点的抛物线的解析式；
（3）在（2）中的抛物线上是否存在点P，使△PMB构成以BM为直角边的直角三角形？若没有，请说明理由；若有，则求出一个符合条件的P点的坐标．

Answer 1

分析：（1）（2）根据MO=MD=4，MC=3就可以求出A、M、B三点的作坐标，根据待定系数法就可以求出直线BM的解析式与抛物线的解析式．
（3）过M、B作MB的垂线，它与抛物线的交点即为P点，因而符合条件的P点是存在的．当∠PMB=90°时，过P作PH⊥DC交于H，则
易证△MPH∽△BMC，得到PH：HM=CM：CB=3：4，因而可以设HM=4a（a＞0），则PH=3a，则P点的坐标为（-4a，4-3a）．
将P点的坐标代入y=-

1

3

x²-

1

3

x+4就可以求出a的值，进而求出P点的坐标．

解答：解：（1）∵MO=MD=4，MC=3，
∴M、A、B的坐标分别为（0，4），（-4，0），（3，0）
设BM的解析式为y=kx+b；
则

4=k×0+b 0=k×3+b

?

k=- 4 3 b=4

，
∴BM的解析式为y=-

4

3

x+4．（3分）

（2）方法一：
设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c（4分）
则

0=16a-4b+c 0=9a+3b+c 4=c

，
解得a=b=-

1

3

，c=4
∴y=-

1

3

x²-

1

3

x+4（6分）
方法二：
设抛物线的解析式为y=a（x+4）（x-3）（4分）
将M（0，4）的坐标代入得a=-

1

3

∴y=-

1

3

（x+4）（x-3）=-

1

3

x²-

1

3

x+4（6分）

（3）设抛物线上存在点P，使△PMB构成直角三角形．（7分）
①过M作MB的垂线与抛物线交于P，过P作PH⊥DC交于H，
∴∠PMB=90°，
∴∠PMH=∠MBC，
∴△MPH∽△BMC，（8分）
∴PH：HM=CM：CB=3：4
设HM=4a（a＞0），则PH=3a
∴P点的坐标为（-4a，4-3a）
将P点的坐标代入y=-

1

3

x²-

1

3

x+4得：
4-3a=-

1

3

（-4a）²-

1

3

×（-4a）+4
解得a=0（舍出），a=

13

16

，（9分）
∴P点的坐标为（-

13

4

，

25

16

）（10分）
②或者，抛物线上存在点P，使△PMB构成直角三角形．（7分）
过M作MB的垂线与抛物线交于P，设P的坐标为（x₀，y₀），
由∠PMB=90°，∠PMD=∠MBC，
过P作PH⊥DC交于H，则MH=-x₀，PH=4-y₀（8分）
∴由tan∠PMD=tan∠MBC
得

4-y0

-x0

=

3

4

，
∴y0=

3

4

x0+4（9分）
∴

3

4

x0+4=-

1

3

x02-

1

3

x0+4?x0=-

13

4

，x₀=0（舍出）
∴y0=

3

4

×(-

13

4

)+4=

25

16

，
∴P点的坐标为（-

13

4

，

25

16

）（10分）
类似的，如果过B作BM的垂线与抛物线交于点P，
设P的坐标为（x₀，y₀），
同样可求得y0=

3

4

x0-

9

4

，
由

3

4

x0-

9

4

=-

1

3

x02-

1

3

x0+4?x0=-

25

4

，x₀=3（舍出）
这时P的坐标为（-

25

4

，-

111

16

）．

点评：本题主要考查了待定系数法求函数解析式．是函数与相似三角形相结合的综合题．