Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，M为直线l：x＝a上一点，N是直线l外一点，且直线MN与x轴不平行，若MN为某个矩形的对角线，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为直线l的“伴随矩形”．如图为直线l的“伴随矩形”的示意图．

（1）已知点A在直线l：x＝2上，点B的坐标为（3，﹣2）

①若点A的纵坐标为0，则以AB为对角线的直线l的“伴随矩形”的面积是　 ；

②若以AB为对角线的直线l的“伴随矩形”是正方形，求直线AB的表达；

（2）点P在直线l：x＝m上，且点P的纵坐标为4，若在以点（2，1），（﹣2，1），（﹣2，﹣1），（2，﹣1）为顶点的四边形上存在一点Q，使得以PQ为对角线的直线l的“伴随矩形”为正方形，直接写出m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）①以AB为对角线的直线l的“伴随矩形”AMBN的面积为2；②直线AB的表达式为y＝﹣x+1或y＝x﹣5；（2）m的范围为﹣7≤m≤﹣1或1≤m≤7．

【解析】

（1）①根据“伴随矩形”的定义画出图形即可解决问题；

②根据题意，当以AB为对角线的直线l的“伴随矩形”为正方形时，点A的坐标为（2，-1）或（2，-3），利用待定系数法即可解决问题；

（2）如图3中，求出经过特殊位置时当P坐标即可解决问题：当Q1坐标为（-2，-1）时，可得P1（-7，4）；当Q2坐标为（2，1）时，可得P2（-14）；当Q3坐标为（2，-1）时，可得P3（7，4）；当Q4坐标为（-2，1）时，可得P4（1，4）；再结合图象即可解决问题；

（1）①如图1中，∵A（2，0），B（3，﹣2）．

∴以AB为对角线的直线l的“伴随矩形”AMBN的面积＝1×2＝2．

②如图2中，

根据题意，当以AB为对角线的直线l的“伴随矩形”为正方形时，

点A的坐标为（2，﹣1）或（2，﹣3）．

可得，直线AB的表达式为：y＝﹣x+1或y＝x﹣5．

（2）如图3中，

当Q1坐标为（﹣2，﹣1）时，可得P1（﹣7，4）；

当Q2坐标为（2，1）时，可得P2（﹣14）；

当Q3坐标为（2，﹣1）时，可得P3（7，4）；

当Q4坐标为（﹣2，1）时，可得P4（1，4）；

观察图象可知：在以点（2，1），（﹣2，1），（﹣2，﹣1），（2，﹣1）为顶点的四边形上存在一点Q，使得以PQ为对角线的直线l的“伴随矩形”为正方形时，m的范围为﹣7≤m≤﹣1或1≤m≤7．