Question

9．如图，在⊙O中，弦BC=8cm，OA⊥BC，与⊙O交于点A，OA=4$\sqrt{2}$cm
（1）猜想∠ADC与∠OBC之间满足的等量关系，并证明你的结论；
（2）若CD∥OA，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）根据垂径定理可得$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，再根据圆周角定理可得∠ADC=$\frac{1}{2}$∠AOB，进而可得答案；
（2）延长AO交⊙O于N，连接DN，AC，根据勾股定理列方程即可得到结论．

解答 解：（1）∠OBC=2∠ADC，
理由：设OA与BC于M，
∴OA⊥BC，
∴MB=$\frac{1}{2}$BC=4，
∴cos∠OBC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠OBC=45°，
∴∠AOB=∠AOC=45°，
∴∠ADC=$\frac{1}{2}$∠AOC=22.5°，
∴∠OBC=2∠ADC；
（2）延长AO交⊙O于N，连接DN，AC，
∴AC²=CM²+AM²=4²+（4$\sqrt{2}$-4）²=64-32$\sqrt{2}$，
∵CD∥OA，
∴DN=AC，
∴AD=$\sqrt{A{N}^{2}-D{N}^{2}}$=$\sqrt{128-64+32\sqrt{2}}$=64+32$\sqrt{2}$=4$\sqrt{4+2\sqrt{2}}$．

点评 此题主要考查了垂径定理，圆周角定理，以及勾股定理，关键是掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．