Question

（2006•河北区一模）圆外切等腰梯形的底角为30°，中位线的长为8，则该圆的直径长为

4

．

Answer 1

分析：根据题意画出相应的图形，过A作AM垂直于BC，根据梯形的中位线等于上下底之和的一半，由中位线的长为8求出AD+BC=16，再由梯形各边与圆相切，利用切线长定理得到AE=AF，DE=DH，BF=BG，CG=CH，等量代换得到AB+CD=16，又梯形ABCD为等腰梯形，得到AB=CD=8，在直角三角形ABM中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半，由AB求出AM的长，即为圆的直径．

解答：解：根据题意画出相应的图形，过A作AM⊥BC于M点，如图所示：

∵梯形ABCD的中位线为8，
∴AD+BC=2×8=16，
即AE+ED+BG+GC=16，
又梯形为圆的外切梯形，
∴梯形各边与圆相切，
∴AE=AF，DE=DH，BF=BG，CG=CH，
∴AF+FB+DH+HC=16，即AB+CD=16，
又梯形ABCD为等腰梯形，
∴AB=CD=8，
在Rt△ABM中，∠B=30°，∠AMB=90°，AB=8，
则AM=

1

2

AB=4，即圆的直径为4．
故答案为：4

点评：此题考查了切线长定理，等腰梯形的性质，含30°直角三角形的性质，以及梯形中位线定理，利用了等量代换的思想，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．