Question

已知：平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在第二象限，AO=a，AB=b，BO与x轴正方向的夹角为150°，且（a²-b²）+（a-b）=0 

（1）试判定△ABO的形状；
（2）如图1，若BC⊥BO，BC=BO，点D为CO的中点，AC、DB交于E，求证：AE=BE+CE；
（3）如图2，若点E为y轴的正半轴上一动点，以BE为边作等边△BEG，延长GA交x轴于点P，问：AP与AO之间有何数量关系，试证明你的结论．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,坐标与图形性质,等边三角形的判定与性质

专题：计算题

分析：（1）△ABO为等边三角形，理由为：根据（a²-b²）+（a-b）=0，得到a=b，再由BO与x轴正方向的夹角为150°得到∠AOB=60°，即可得证；
（2）在AC上截取AM=CE，先证∠AEB=60°，方法是根据题意得到三角形ABO为等边三角形，三角形BOC为等腰直角三角形，确定出∠ABD度数，根据AB=BC，且∠ABC=120°，得到∠BAE度数，进而确定出∠AEB为60°，再由AM=CE，得到AE=CM，再由AB=CB，且夹角∠BAC=∠BCA，利用SAS得到三角形BCM与三角形BAE全等，利用全等三角形的对应边相等得到BM=BE，得到三角形BEM为等边三角形，得到BE=EM，由AE=EM+AM，等量代换即可得证；
（3）AP=2AO，理由为：由题意得到BG=BE，AB=OB，利用等式的性质得到∠ABG=∠OBE，利用SAS得到三角形ABG与三角形OBE全等，利用全等三角形的对应角相等得到∠GAB=∠BOE=60°，利用外角的性质得到∠APO=30°，在直角三角形AOP中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半得到AP=2AO．

解答：解：（1）△ABO为等边三角形，理由为：
∵（a²-b²）+（a-b）=（a+b）（a-b）+（a-b）=（a-b）（a+b+1）=0，
∴a-b=0，得到a=b，即AO=AB，
∵OB与x轴正半轴夹角为150°，
∴∠AOB=150°-90°=60°，
∴△AOB为等边三角形；
（2）在AC上截取AM=EC，可得AM+EM=CE+EM，即AE=CM，
∵△AOB为等边三角形，△BOC为等腰直角三角形，
∴∠OBC=90°，∠ABO=60°，
∵D为CO的中点，
∴BD平分∠OBC，即∠CBD=∠OBD=45°，
∴∠ABD=105°，∠ABC=150°，
∴∠BAC=∠BCA=15°，
∴∠AEB=60°，
在△ABE和△CBM中，

AB=CB ∠BAE=∠BCM AE=CM

，
∴△ABE≌△CBM（SAS），
∴BM=BE，
∴△BEM为等边三角形，
∴BE=EM，
∴AE=AM+EM=CE+BE；
（3）AP=2AO，理由为：
证明：∵△AOB与△BGE都为等边三角形，
∴BE=BG，AB=OB，∠EBG=∠OBA=60°，
∴∠EBG+∠EBA=∠OBA+∠EBA，即∠ABG=∠OBE，
在△ABG和△OBE中，

AB=OB ∠ABG=∠OBE BE=BG

，
∴△ABG≌△OBE（SAS），
∴∠BAG=∠BOE=60°，
∴∠GAO=∠GAB+∠BAO=120°，
∵∠GAO为△AOP的外角，且∠AOP=90°，
∴∠APO=30°，
在Rt△AOP中，∠APO=30°，
则AP=2AO．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，外角性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．