Question

17．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点F，M，N分别为AB，CD的中点，连接MN分别交BD，AC于点P，Q，且∠FPQ=∠FQP，若BD=9，则AC=9．

Answer 1

分析 取线段BC的中点E，连接EM、EN，由三角形中位线定理即可得出ME∥AC、ME=$\frac{1}{2}$AC、NE∥BD、NE=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{9}{2}$，再根据平行线的性质即可得出∠EMN=∠FQP、∠ENM=∠FPQ，结合∠FPQ=∠FQP即可得出∠EMN=∠ENM，从而得出ME=NE=$\frac{9}{2}$，由ME=$\frac{1}{2}$AC即可求出AC的长度．

解答 解：取线段BC的中点E，连接EM、EN，如图所示．
∵M、N，E分别为AB，CD，BC的中点，
∴ME∥AC，ME=$\frac{1}{2}$AC，NE∥BD，NE=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{9}{2}$，
∴∠EMN=∠FQP，∠ENM=∠FPQ．
又∵∠FPQ=∠FQP，
∴∠EMN=∠ENM．
∴ME=NE=$\frac{9}{2}$．
∴AC=2ME=9．
故答案为：9．

点评 本题考查了三角形中位线定理、平行线的性质以及等腰三角形的性质，根据三角形中位线定理结合平行线的性质找出∠EMN=∠ENM是解题的关键．