Question

如图所示，某学校拟建一个含内接矩形的菱形花坛（花坛为轴对称图形）．矩形的四个顶点分别在菱形四条边上，菱形ABCD的边长AB=4米，∠ABC=60°．设AE=x米（0＜x＜4），矩形EFGH的面积为S米²．

（1）求S与x的函数关系式；
（2）学校准备在矩形内种植红色花草，四个三角形内种植黄色花草．已知红色花草的价格为20元/米²，黄色花草的价格为40元/米²．当x为何值时，购买花草所需的总费用最低，并求出最低总费用（结果保留根号）？

Answer 1

解：（1）连接AC、BD，

∵花坛为轴对称图形，
∴EH∥BD，EF∥AC。
∴△BEF∽△BAC。
∵∠ABC=60°，
∴△ABC、△BEF是等边三角形。
∴EF=BE=AB﹣AE=4﹣x，
在Rt△AEM中，∠AEM=∠ABD=30°，
则EM=AEcos∠AEM=x，∴EH=2EM=x.
∴S=（4﹣x）×x=﹣x²+4x。
（2）易求得菱形ABCD的面积为8cm²，
由（1）得，矩形ABCD的面积为x²，则可得四个三角形的面积为（8+x²﹣4x），
设总费用为W，
则W=20（﹣x²+4x）+40（8+x²﹣4x）=20x²﹣80x+320
=20（x﹣2）²+240。
∵0＜x＜4，∴当x=2时，W取得最小，W_最小=240元。
∴当x为2时，购买花草所需的总费用最低，最低费用为240元。

试题分析：（1）连接AC、BD，根据轴对称的性质，可得EH∥BD，EF∥AC，△BEF为等边三角形，从而求出EF，在Rt△AEM中求出EM，继而得出EH，这样即可得出S与x的函数关系式。
（2）根据（1）的答案，可求出四个三角形的面积，设费用为W，则可得出W关于x的二次函数关系式，利用配方法求最值即可。