Question

如图，在⊙O中，直径AB平分弦CD，AB与CD相交于点E，连接AC、BC，点F是BA延长线上的一点，且∠FCA=∠B．
（1）求证：CF是⊙O的切线．
（2）若AC=4，tan∠ACD=

1

2

，求⊙O的半径．

Answer 1

考点：切线的判定,勾股定理,垂径定理

专题：证明题,几何综合题

分析：（1）利用圆周角定理以及等腰三角形的性质得出∠OCF=90°，进而得出答案；
（2）利用垂径定理推论得出

AD

=

AC

，进而得出BC的长，再利用勾股定理求出即可．

解答：（1）证明：连接CO，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BCA=90°，
∴∠ACO+∠OCB=90°，
∵OB=CO，
∴∠B=∠OCB，
∵∠FCA=∠B，
∴∠BCO=∠ACF，
∴∠OCA+∠ACF=90°，
即∠OCF=90°，
∴CF是⊙O的切线；

（2）解：∵直径AB平分弦CD，
∴AB⊥DC，
∴

AD

=

AC

，
∵AC=4，tan∠ACD=

1

2

，
∴tan∠B=tan∠ACD=

AC

BC

=

1

2

，
∴

AC

BC

=

1

2

，
∴BC=8，
∴在Rt△ABC中，
AB=

BC2+AC2

=

82+42

=4

5

，
则⊙O的半径为：2

5

．

点评：此题主要考查了切线的判定以及垂径定理的推论和勾股定理等知识，得出BC的长是解题关键．