Question

如图，△ACB内接于⊙O，D为弧BC的中点，ED切⊙O于D，与AB的延长线相交于E，若AC=2，AB=6，ED+EB=6，那么AD=________．

Answer 1

4
分析：设AD与BC交于点F，由切线长定理知DE²=BE•AE=BE（BE+AB）=BE²+BE•AB，可求得DE=2BE．利用DE²=BE²+BE•AB求得，BE=2，DE=4，连接BD，由弦切角的性质知，∠EDB=∠EAD，得到BF：DE=AB：AE作为相等关系可求出BF=3，根据AD是∠BAC的平分线，由角的平分线定理得，AB：BF=AC：CF，由相交弦定理得，BF•CF=AF•DF=3，所以可求出DF=1，AF=3，从而求得AD的值．
解答：解：设AD与BC交于点F
∵ED+EB=6
∴DE²=BE•AE=BE（BE+AB）=BE²+BE•AB
∴（DE+BE）（DE-BE）=BE•AB
即6×（DE-BE）=BE×6
∴DE=2BE
∵DE²=BE²+BE•AB
∴BE=2，DE=4
连接BD，则∠EDB=∠EAD
∵D为弧BC的中点
∴∠DAC=∠BAD
∴∠CBD=∠BDE
∴BC∥DE
∴BF：DE=AB：AE
∴BF=3
∵AD是∠BAC的平分线
∴AB：BF=AC：CF
∴CF=1
∴BC=BF+CF=4
∴BF•CF=AF•DF=3
∵BF：ED=AF：AD=AF：（AF+DF）
∴DF=1，AF=3
∴AD=AF+DF=4．
点评：本题利用了切线长定理，弦切角的性质，圆周角定理，角的平分线定理，相交弦定理，平行线的判定和性质求解，综合性比较强．