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    11．已知，如图，?ABCD中，BC=8cm，CD=4cm，∠B=60°，点M从点D出发，沿DA方向匀速运动，速度为2cm/s，点N从点B出发，沿BC方向匀速运动，速度为1cm/s，过M作MF⊥CD，垂足是F，延长FM交BA的延长线于点E，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：

    （1）当t为何值时，△AEM≌△DFM？
    （2）连接AN，MN，设△ANM的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
    （3）是否存在某一时刻t，使△ANM的面积是?ABCD面积的$\frac{3}{8}$？若存在，求出相应的t值，若不存在，说明理由；
    （4）连接EN，交AD于点O，当t=$\frac{8}{3}$秒时，EN恰好垂直于AD，连接AC，交EN于点Q，求此刻线段OQ的长度．

    分析 （1）由全等三角形的性质可知AM=MD=4，由此得到2t=4，可求得t的值；
    （2）过点A作AG⊥BC，垂足为G．在Rt△ABG中依据特殊锐角三角函数值可求得AG的长，由题意可得到AM=8-2t，然后再△AEM中依据特殊锐角三角函数值可求得AE、ME的长，最后依据y=S△ANM可得到y与x的函数关系式；
    （3）设运动时间为t秒时，△ANM的面积是?ABCD面积的$\frac{3}{8}$，根据题意列方程求解即可；
    （4）过A作AG⊥BC，垂足为G，根据t=$\frac{8}{3}$秒可求得AO、NC的长，最后证明△AOP∽△CNP，最后设QO=x，依据相似三角形的性质可求得OP的长．

    解答 解：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
    ∴AD=BC=8，
    ∵△AEM≌△DFM，
    ∴AM=MD=4，
    ∴2t=4，
    ∴t=2；

    （2）如图1，过点A作AG⊥BC，垂足为G．
    ∵∠AGB=90°，∠A=60°，
    ∴AG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=2$\sqrt{3}$，
    ∵MD=2t，
    ∴AM=8-2t，
    ∴y=S△ANM=$\frac{1}{2}$×（8-2t）×2$\sqrt{3}$=-2$\sqrt{3}$t+8$\sqrt{3}$；

    （3）设运动时间为t秒时，△ANM的面积是?ABCD面积的$\frac{3}{8}$．
    根据题意得-2$\sqrt{3}$t+8$\sqrt{3}$=$\frac{3}{8}$×8×2$\sqrt{3}$，
    整理得2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$t，
    解得t=1，
    故当t=1时，△ANM的面积是?ABCD面积的$\frac{3}{8}$；

    （4）如图，过A作AG⊥BC，垂足为G．
    ∵AB∥CD，MF⊥CD，
    ∴MF⊥AB，
    ∴∠MEA=90°，
    ∵AD∥BC，
    ∴∠EAM=∠B=60°，
    由（2）可得，AM=8-2t，
    ∴AE=$\frac{1}{2}$AM=4-t，
    ∴BE=AB+AE=8-t，
    ∵∠B=60°，EN⊥BC，AG⊥BC，
    ∴BN=$\frac{1}{2}$BE=4-$\frac{1}{2}$t，BG=$\frac{1}{2}$AB=2，
    当t=$\frac{8}{3}$时，GN=BN-BG=$\frac{2}{3}$，EN⊥BC，
    ∴AO=$\frac{2}{3}$，NC=8-2-$\frac{2}{3}$=$\frac{16}{3}$，
    设QO=x，则QN=2$\sqrt{3}$-x，
    ∵AO∥NC，
    ∴△AOQ∽△CNQ，
    ∴$\frac{OA}{NC}$=$\frac{OQ}{NQ}$，即$\frac{\frac{2}{3}}{\frac{16}{3}}$=$\frac{x}{2\sqrt{3}-x}$，
    解得：x=$\frac{2\sqrt{3}}{9}$，
    ∴OQ的长为$\frac{2\sqrt{3}}{9}$．

    点评 本题主要考查的是四边形的综合应用，解答本题时需要运用全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、三角形的面积公式、相似三角形的性质和判定等，用含t的式子表示相关线段的长度，利用相似三角形的对应边成比例列出比例式是解题的关键．

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