Question

在河的北岸有张庄、李村两个村庄，张庄离河北岸的距离为1km，李村位于张庄北偏东60°的方向，离张庄4km，若以河的北岸为x轴，张庄在y轴的正半轴上建立如图所示的直角坐标系（单位：km）．
（1）在直角坐标系中标出张庄、李村的位置，并写出其坐标；
（2）若在河北岸边修一水泵站，分别向张庄、李村各铺一条水管，要使所用的水管最短，水泵站应修在什么地方？在图中标出其位置，并求出所用水管的长度（答案保留根号）．

Answer 1

解：（1）如图，张庄的位置在点A（0，1）处，李村的位置在点B（2，3）．
（2）作出点A（0，1）关于x轴的对称点A₁，其坐标为（0，-1）．连接BA₁交x轴于点P，P点就是水泵站的位置，
如图，因为A点与A₁点关于x轴对称，
所以AP=A₁P．
所以水管最短长度为PA+PB=PA₁+PB=A₁B．
在Rt△A₁BC中，A₁C=4，BC=2，
所以A₁B==2．
即水管最短的长度为2km．
分析：（1）结合题意和图形，先在直角坐标系中标出张庄、李村的位置，再根据点与坐标的关系写出其坐标；
（2）作出点A关于x轴的对称点A₁，连接BA₁交x轴于点P，P点就是水泵站的位置，再根据勾股定理求所用水管的长度．
点评：本题考查了：1、在平面直角坐标系中确定点的坐标，2、在平面直角坐标系中用轴对称和勾股定理求最短距离．此类题型是个重点也是难点，需要掌握．