Question

12．如图，?ABCD的对角线交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE=OB，连接DE．
（1）求证：△BDE是直角三角形；
（2）如果OE⊥CD，试判断△BDE与△DCE是否相似，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形ABCD 对角线互相平分、已知条件OE=OB以及等边对等角推知∠BED=∠OEB+∠OED=90°，则DE⊥BE，即△BDE是直角三角形；
（2）利用两角法证得△BDE与△DCE相似．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，
∵OE=OB，
∴OE=OD，
∴∠OBE=∠OEB，∠ODE=∠OED，
∵∠OBE+∠OEB+∠ODE+∠OED=180°，
∴∠BED=∠OEB+∠OED=90°，
∴DE⊥BE，即△BDE是直角三角形；

（2）解：△BDE与△DCE相似．     
∵OE⊥CD，
∴∠CEO+∠DCE=∠CDE+∠DCE=90°，
∴∠CEO=∠CDE，
∵∠OBE=∠OEB，
∴∠DBE=∠CDE，
∵∠BED=∠DEC=90°，
∴△BDE∽△DCE．

点评 本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定．熟知两组对应角相等的两个三角形相似是解答此题的关键．