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5.如图,四边形ABEC中,BE=CE,∠BAC=40°,∠CEB=140°,点D为AE上一点,点P为射线AB上一动点,且△PAD是等腰三角形.
(1)求证:AE平分∠CAB;
(2)求∠APD的度数.

分析 (1)关键是作辅助线,作EF⊥AC交AC的延长线于点F,作EG⊥AB交AB于点G,画出相应的图形,找出证明△ECF和△EBG全等的条件,然后根据在角的内部,到角的两边距离相等的点在角的平分线上,可以证得结论成立;
(2)根据题意可以分两种情况,分别画出相应的图形,然后根据等腰三角形的性质和第一问求得的结论,可以求出∠APD的度数.

解答 (1)证明:作EF⊥AC交AC的延长线于点F,作EG⊥AB交AB于点G,如下图一所示,

∴∠ECF=∠EGB=90°,
∵∠BAC=40°,∠CEB=140°,∠CAB+∠B+∠BEC+∠ECA=360°,
∴∠B+∠ECA=180°,
∵∠ECA+∠ECF=180°,
∴∠B=∠ECF,
在△ECF和△EBG中
$\left\{\begin{array}{l}{∠EGB=∠EFC}\\{∠ECF=∠B}\\{BE=CE}\end{array}\right.$
∴△ECF≌△EBG(AAS)
∴EF=EG,
∵EF⊥AC交AC的延长线于点F,EG⊥AB交AB于点G,
∴AE是∠CAB的平分线,
即AE平分∠CAB;
(2)由题意可得,∠APD存在两种情况,
第一种情况,当AP=PD时,如下图二所示,

∵AP=PD,
∴∠DAP=∠ADP,
∵∠BAC=40°,AE平分∠CAB,
∴∠DAP=20°,
∴∠DAP=∠ADP=20°,
∴∠APD=180°-∠DAP-∠ADP=140°;
第二种情况,当AD=DP时,如下图三所示,

∵AD=PD,
∴∠DAP=∠APD,
∵∠BAC=40°,AE平分∠CAB,
∴∠DAP=20°,
∴∠DAP=∠APD=20°,
即∠APD=20°;
由上可得,∠APD的度数是140°或20°.

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质,解题的关键是明确题意,画出合适的图形,找出所求结论或问题需要的条件,利用数形结合的思想解答问题.

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