Question

3．如图，点A是x轴正半轴上的任意一点，过点A作EF∥y轴，分别交反比例函数y₁=$\frac{{k}_{{\;}_{1}}}{x}$（y₁＞0）和y₂=$\frac{{k}_{2}}{x}$（y₂＜0）的图象于点E、F，且$\frac{EA}{FA}$=$\frac{5}{3}$，连接OE、OF，有下列结论：①这两个函数的图象关于x轴对称；②△EOF的面积为$\frac{1}{2}$（k₁-k₂）；③$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$=-$\frac{3}{5}$；④当∠EOF=90°时，$\frac{OE}{OF}$=$\frac{\sqrt{15}}{3}$，其中正确的是（　　）

• A． ①③
• B． ②④
• C． ①④
• D． ②③

Answer 1

分析 ①③由点在反比例函数图象上结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得出$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$=-$\frac{5}{3}$，由此即可得出①③错误；②由反比例函数系数k的结合意义，结合k₁、k₂的正负即可得出S_△OEF=S_△OAE+S_△OAF=$\frac{1}{2}$（k₁-k₂），即②正确；④设EA=5a，OA=b，则FA=3a，根据勾股定理表示出OE、OF，再根据∠EOF=90°利用勾股定理即可得出b²=15a²，将其代入OE、OF中，即可得出$\frac{OE}{OF}=\frac{\sqrt{25{a}^{2}+15{a}^{2}}}{\sqrt{9{a}^{2}+15{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{15}}{3}$，即④正确．综上即可得出结论．

解答 解：①∵点E在反比例函数y₁=$\frac{{k}_{{\;}_{1}}}{x}$（y₁＞0）的图象上，点F在反比例函数y₂=$\frac{{k}_{2}}{x}$（y₂＜0）的图象上，且$\frac{EA}{FA}$=$\frac{5}{3}$，
∴k₁=OA•EA，k₂=-OA•FA，
∴$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$=-$\frac{5}{3}$，
∴这两个函数的图象不关于x轴对称，即①错误；
②∵点E在反比例函数y₁=$\frac{{k}_{{\;}_{1}}}{x}$的图象上，点F在反比例函数y₂=$\frac{{k}_{2}}{x}$的图象上，
∴S_△OAE=$\frac{1}{2}$k₁，S_△OAF=-$\frac{1}{2}$k₂，
∴S_△OEF=S_△OAE+S_△OAF=$\frac{1}{2}$（k₁-k₂），即②正确；
③由①可知$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$=-$\frac{5}{3}$，
∴③错误；
④设EA=5a，OA=b，则FA=3a，
由勾股定理可知：
OE=$\sqrt{25{a}^{2}+{b}^{2}}$，OF=$\sqrt{9{a}^{2}+{b}^{2}}$．
∵∠EOF=90°，
∴OE²+OF²=EF²，即25a²+b²+9a²+b²=64a²，
∴b²=15a²，
∴$\frac{OE}{OF}=\frac{\sqrt{25{a}^{2}+15{a}^{2}}}{\sqrt{9{a}^{2}+15{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{15}}{3}$，④正确．
综上可知：正确的结论有②④．
故选B．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数k的几何意义、三角形的面积公式以及勾股定理，解题的关键是逐条分析4条结论是否正确．本题属于中档题，难度不大，解决该题时，直接由反比例函数图象上点的坐标特征求出$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$的值排除①③即可得出结论了，②④可不必去考虑．