Question

如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；
（2）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？
（3）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由．

Answer 1

分析：（1）探究问题，也就是证明问题，可以先假设，题中OE，OF可通过平行线，角平分线确定二者之间的关系．
（2）正方形的判定问题，AECF若是正方形，则必有对角线OA=OC，所以O为AC的中点，同样在△ABC中，当∠ACB=90°时，可满足其为正方形．
（3）菱形的判定问题，若使菱形，则必有四条边相等，对角线互相垂直．

解答：（1）解：OE=OF．理由如下：
∵CE是∠ACB的角平分线，
∴∠ACE=∠BCE，
又∵MN∥BC，
∴∠NEC=∠ECB，
∴∠NEC=∠ACE，
∴OE=OC，
∵OF是∠BCA的外角平分线，
∴∠OCF=∠FCD，
又∵MN∥BC，
∴∠OFC=∠ECD，
∴∠OFC=∠COF，
∴OF=OC，
∴OE=OF；

（2）△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形．
∵当点O运动到AC的中点时，AO=CO，
又∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵FO=CO，
∴AO=CO=EO=FO，
∴AO+CO=EO+FO，即AC=EF，
∴四边形AECF是矩形．
已知MN∥BC，当∠ACB=90°，则
∠AOF=∠COE=∠COF=∠AOE=90°，
∴AC⊥EF，
∴四边形AECF是正方形．

（3）解：不可能．
如图所示，
∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ECF=

1

2

∠ACB+

1

2

∠ACD=

1

2

（∠ACB+∠ACD）=90°，
若四边形BCFE是菱形，则BF⊥EC，
但在△GFC中，不可能存在两个角为90°，所以不存在其为菱形．

点评：熟练掌握菱形及正方形的性质及判定定理，能够解决一些简单的运动问题．