Question

10．已知直线y=-x+m与x轴交于点A，与y轴交于点B，反比例函数y=-$\frac{2}{x}$
（1）求证：直线y=-x+m与反比例函数y=-$\frac{2}{x}$的图象总有两个不同的公共点；
（2）如图，设直线y=-x+m与反比例函数y=-$\frac{2}{x}$的图象在第二象限的交点为C，求AC•BC的值．

Answer 1

分析 （1）将一次函数解析式代入反比例函数解析式中整理得x²-mx-2=0，由根的判别式△=m²-4×1×（-2）=m²+8＞0，即可得出方程有两个不同的实数根，从而证出直线y=-x+m与反比例函数y=-$\frac{2}{x}$的图象总有两个不同的公共点；
（2）过点C作CE⊥x轴于点E，作CF⊥y轴于点F，由直线AC的解析式可得出∠CAE=∠ABF=45°，进而得出AC=$\sqrt{2}$CE、BC=$\sqrt{2}$CF，由点C在反比例函数y=-$\frac{2}{x}$的图象上利用反比例函数系数k的几何意义即可得出CE•CF=|-2|=2，进而可得出AC•BC=2CE•CF=4．

解答 （1）证明：将y=-x+m代入y=-$\frac{2}{x}$，
整理得：x²-mx-2=0，
∵△=m²-4×1×（-2）=m²+8＞0，
∴方程有两个不同的实数根，
∴直线y=-x+m与反比例函数y=-$\frac{2}{x}$的图象总有两个不同的公共点；
（2）过点C作CE⊥x轴于点E，作CF⊥y轴于点F，如图所示．
∵直线AC的解析式为y=-x+m，
∴∠CAE=∠ABF=45°，
∴AC=$\sqrt{2}$CE，BC=$\sqrt{2}$CF．
∵点C在反比例函数y=-$\frac{2}{x}$的图象上，
∴CE•CF=|-2|=2，
∴AC•BC=$\sqrt{2}$CE•$\sqrt{2}$CF=2CE•CF=4．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、根的判别式以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）将一次函数解析式代入反比例函数解析式中，利用根的判别式找出方程有两个不相等的实数根；（2）根据直线的解析式找出AC=$\sqrt{2}$CE、BC=$\sqrt{2}$CF．