Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过A（-1，0），B（4，0），C（0，2）三点．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）E为抛物线上一动点，是否存在点E，使以A、B、E为顶点的三角形与△COB相似？若存在，试求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若将直线BC平移，使其经过点A，且与抛物线相交于点D，连接BD，试求出∠BDA的度数．

Answer 1

考点：二次函数综合题,一次函数的应用,勾股定理的应用,等腰直角三角形,矩形的性质,相似三角形的应用

专题：代数几何综合题,压轴题

分析：（1）本题需先根据已知条件，过C点，设出该抛物线的解析式为y=ax²+bx+2，再根据过A，B两点，即可得出结果；
（2）由图象可知，以A、B为直角顶点的△ABE不存在，所以△ABE只可能是以点E为直角顶点的三角形．由相似关系求出点E的坐标；
（3）如图2，连结AC，作DE⊥x轴于点E，作BF⊥AD于点F，由BC∥AD设BC的解析式为y=kx+b，设AD的解析式为y=kx+n，由待定系数法求出一次函数的解析式，就可以求出点D坐标，由勾股定理就可以求出BD的值，由勾股定理的逆定理就可以得出∠ACB=90°，由平行线的性质就可以得出∠CAD=90°，就可以得出四边形ACBF是矩形，就可以得出BF的值，由勾股定理求出DF的值，而得出DF=BF而得出结论．

解答：解：（1）∵该抛物线过点C（0，2），
∴可设该抛物线的解析式为y=ax²+bx+2．
将A（-1，0），B（4，0）代入，
得

a-b+2=0 16a+4b+2=0

，
解得

a=-  1 2 b=  3 2

，
∴抛物线的解析式为：y=-

1

2

x²+

3

2

x+2．

（2）存在．
由图象可知，以A、B为直角顶点的△ABE不存在，所以△ABE只可能是以点E为直角顶点的三角形．

在Rt△BOC中，OC=2，OB=4，
∴BC=

22+42

=2

5

．
在Rt△BOC中，设BC边上的高为h，则

1

2

×2

5

h=

1

2

×2×4，
∴h=

4

5

5

．
∵△BEA∽△COB，设E点坐标为（x，y），
∴

AB

BC

=

|y|

4 5 5

，
∴y=±2
将y=2代入抛物线y=-

1

2

x²+

3

2

x+2，
得x₁=0，x₂=3．
当y=-2时，不合题意舍去．
∴E点坐标为（0，2），（3，2）．

（3）如图2，连结AC，作DE⊥x轴于点E，作BF⊥AD于点F，

∴∠BED=∠BFD=∠AFB=90°．
设BC的解析式为y=kx+b，由图象，得

2=b 0=4k+b

，
∴

k=- 1 2 b=2

，
y_BC=-

1

2

x+2．
由BC∥AD，设AD的解析式为y=-

1

2

x+n，由图象，得
0=-

1

2

×（-1）+n
∴n=-

1

2

，
y_AD=-

1

2

x-

1

2

．
∴-

1

2

x²+

3

2

x+2=-

1

2

x-

1

2

，
解得：x₁=-1，x₂=5
∴D（-1，0）与A重合，舍去；
∴D（5，-3）．
∵DE⊥x轴，
∴DE=3，OE=5．
由勾股定理，得BD=

10

．
∵A（-1，0），B（4，0），C（0，2），
∴OA=1，OB=4，OC=2．
∴AB=5
在Rt△AOC中，Rt△BOC中，由勾股定理，得
AC=

5

，BC=2

5

，
∴AC²=5，BC²=20，AB²=25，
∴AC²+BC²=AB²
∴△ACB是直角三角形，
∴∠ACB=90°．
∵BC∥AD，
∴∠CAF+∠ACB=180°，
∴∠CAF=90°．
∴∠CAF=∠ACB=∠AFB=90°，
∴四边形ACBF是矩形，
∴AC=BF=

5

，
在Rt△BFD中，由勾股定理，
得DF=

5

，
∴DF=BF，
∴∠ADB=45°．

点评：本题考查了运用待定系数法求二次函数解析式和一次函数的解析式的运用，相似三角形的性质的运用，勾股定理的运用，矩形的判定及性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，解答时求出函数的解析式是关键．