Question

小杰和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，有一次，他们碰到这样一道题：
“已知正方形ABCD，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，若EG⊥FH，则EG=FH“
经过思考，大家给出了以下两个方案：
（甲）过点A作AM∥HF交BC于点M，过点B作BN∥EG交CD于点N；
（乙）过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EG交CD的延长线于点N；
小杰和他的同学顺利的解决了该题后，大家琢磨着想改变问题的条件，作更多的探索．
…
（1）对小杰遇到的问题，请在甲、乙两个方案中任选一个，加以证明（如图1）；

（2）如果把条件中的“正方形”改为“长方形”，并设AB=2，BC=3（如图2），试探究EG、FH之间有怎样的数量关系，并证明你的结论；
（3）如果把条件中的“EG⊥FH”改为“EG与FH的夹角为45°”，并假设正方形ABCD的边长为1，FH的长为

5

2

（如图3），试求EG的长度．

Answer 1

分析：（1）无论选甲还是选乙都是通过构建全等三角形来求解．甲中，通过证△AMB≌△BNC来得出所求的结论．乙中，通过证△AMB≌△ADN来得出结论；
（2）同（1）一样，只不过将全等三角形该成了相似三角形，通过相似三角形得出的对应线段成比例来得出EG：FH=3：2；
（3）按（1）的思路也要通过构建全等三角形来求解，可过点A作AM∥HF交BC于点M，过点A作AN∥EG交CD于点N，将△AND绕点A旋转到△APB，不难得出△APM和△ANM全等，那么可得出PM=MN，而MB的长可在直角三角形ABM中根据AB和AM（即HF的长）求出．如果设DN=x，那么NM=PM=BM+x，MC=BC-BM=1-BM，因此可在直角三角形MNC中用勾股定理求出DN的长，进而可在直角三角形AND中求出AN即EG的长．

解答：（1）证明：过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EG交CD的延长线于点N
∴AM=HF，AN=EG
∵正方形ABCD，
∴AB=AD，∠BAD=∠ADN=90°，
∵EG⊥FH
∴∠NAM=90°
∴∠BAM=∠DAN
在△ABM和△ADN中，∠BAM=∠DAN，AB=AD，∠ABM=∠ADN
∴△ABM≌△ADN，
∴AM=AN
即EG=FH；

（2）结论：EG：FH=3：2
证明：过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EG交CD的延长线于点N
∴AM=HF，AN=EG，
∵长方形ABCD，
∴∠BAD=∠ADN=90°，
∵EG⊥FH，
∴∠NAM=90°，
∴∠BAM=∠DAN，
∴△ABM∽△ADN，
∴

AM

AN

=

AB

AD

，
∵AB=2BC=AD=3，
∴

EG

FH

=

3

2

；

（3）解：过点A作AM∥HF交BC于点M，过点A作AN∥EG交CD于点N，
∵AB=1，AM=FH=

5

2

∴在Rt△ABM中，BM=

1

2

将△AND绕点A旋转到△APB，
∵EG与FH的夹角为45°，
∴∠MAN=45°，
∴∠DAN+∠MAB=45°，
即∠PAM=∠MAN=45°，
从而△APM≌△ANM，
∴PM=NM，
设DN=x，则NC=1-x，NM=PM=

1

2

+x
在Rt△CMN中，（

1

2

+x）²=

1

4

+（1-x）²，
解得x=

1

3

，
∴EG=AN=

1+x2

=

10

3

，
答：EG的长为

10

3

．

点评：本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、图形的旋转变换等知识．通过辅助线或图形的旋转将所求的线段与已知的线段构建到一对全等或相似的三角形中是本题的基本思路．