Question

试证：如果整系数二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有有理根，那么a，b，c中至少有一个偶数．

Answer 1

考点：一元二次方程的整数根与有理根

专题：

分析：先假设a、b、c全是奇数，根据根与系数的关系，利用判别式求得x的值x=

-b± b2-4ac

2a

，可见存在有理根，即设

b2-4ac

为有理数n，假设n为偶数，与已知矛盾，从而得到n只能为偶数，进一步证得a，b，c中至少有一个是偶数．

解答：证明：假设a、b、c全为奇数△=b²-4ac≥0有：
x=

-b± b2-4ac

2a

，
可见存在有理根，即设

b2-4ac

为有理数n，
∴b²-4ac=n²，
∴（b-n）（b+n）=4ac，
∵若n为偶数，（b-n）（b+n）=奇数×奇数=奇数≠4ac，
∴n只能为奇数，b-n为偶数b+n为偶数，
∴（b-n）（b+n）=偶数×偶数=2a×2c（a≤c），
即b-n=2a，b+n=2c，
解得：b=a+c，
此时b=奇数+奇数=偶数，与原假设矛盾，
∴原假设不成立．
∴如果整系数二次方程ax²+bx+c=0存在有理根，那么a、b、c至少有一个是偶数．

点评：本题考查了一元二次方程的整数根与有理根、整数的奇偶性问题，注意对于不能直接证明的问题，采用反证法往往是一种不错的方法．