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(2012•舟山)如图,已知△ABC中,∠CAB=∠B=30°,AB=2
3
,点D在BC边上,把△ABC沿AD翻折使AB与AC重合,得△AB′D,则△ABC与△AB′D重叠部分的面积为(  )
分析:首先过点D作DE⊥AB′于点E,过点C作CF⊥AB,由△ABC中,∠CAB=∠B=30°,AB=2
3
,利用等腰三角形的性质,即可求得AC的长,又由折叠的性质,易得∠CDB′=90°,∠B′=30°,B′C=AB′-AC=2
3
-2,继而求得CD与B′D的长,然后求得高DE的长,继而求得答案.
解答:解:过点D作DE⊥AB′于点E,过点C作CF⊥AB,
∵△ABC中,∠CAB=∠B=30°,AB=2
3

∴AC=BC,
∴AF=
1
2
AB=
3

∴AC=
AF
cos∠CAB
=
3
3
2
=2,
由折叠的性质得:AB′=AB=2
3
,∠B′=∠B=30°,
∵∠B′CD=∠CAB+∠B=60°,
∴∠CDB′=90°,
∵B′C=AB′-AC=2
3
-2,
∴CD=
1
2
B′C=
3
-1,B′D=B′C•cos∠B′=(2
3
-2)×
3
2
=3-
3

∴DE=
CD•B′D
B′C
=
(
3
-1)(3-
3
)
2
3
-2
=
3-
3
2

∴S阴影=
1
2
AC•DE=
1
2
×2×
3-
3
2
=
3-
3
2

故选A.
点评:此题考查了折叠的性质,等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及特殊角的三角函数问题.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用,注意掌握折叠前后图形的对应关系.
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4
3
π+2
3
4
3
π+2
3

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AG
AB
=
FG
FB
;②∠ADF=∠CDB;③点F是GE的中点;④AF=
2
3
AB;⑤S△ABC=5S△BDF
其中正确结论的序号是
①②④
①②④

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