Question

已知：△ABC与△EDF都是腰长为9的等腰直角三角形，如图1摆放．固定△ABC，将△DEF绕点A顺时针旋转，当DE与AB重合时，旋转中止．在旋转过程中，设DE、DF（或它们的延长线）分别交直线BC于G、H，如图2．
（1）请写出图2中所有与△AGC相似的三角形：

△HGA、△HAB

，选择其一说明理由；
（2）当△AGH为等腰三角形时，请直接写出CG的长．

Answer 1

分析：（1）根据△ABC与△EFD为等腰直角三角形的性质以及三角形外角的性质和利用相似三角形的判定定理即可得出结论．
（2）此题要采用分类讨论的思想分三种情况①CG＜

1

2

BC，②CG=

1

2

BC时，③CG＞

1

2

BC时分别得出即可．

解答：（1）答：△HGA、△HAB，
证明：∵∠AGB是△AGC和△AGH的外角，
∴∠AGB=∠GAC+∠ACB，
∠AGB=∠GAH+∠H，
∵∠ACB=∠GAH=45°，
∴∠GAC=∠H，
∴△AGC∽△HGA；
故答案为：△HGA、△HAB．

（2）解：当①CG＜

1

2

BC，∠GAC=∠H＜∠HAG，
∴AC＜CH，
∵AG＜AC，
∴AG＜CH＜GH，
又∵AH＞AG，AH＞GH，
此时，△AGH不可能是等腰三角形，
②当CG=

1

2

BC时，G为BC的中点，H与C重合，△AGH是等腰三角形，
此时，GC=

9

2

2

，
③CG＞

1

2

BC时，由（1）△AGC∽△HGA，
所以，若△AGH必是等腰三角形，只可能存在AG=AH，
若AG=AH，则AC=CG，此时x=9，
如图（3），当CG=BC时，
注意：DF才旋转到与BC垂直的位置，
此时B，E，G重合，∠AGH=∠GAH=45°，
所以△AGH为等腰三角形，所以CG=9

2

，
综上所述，当△AGH为等腰三角形时，CG=9或9

2

或

9

2

2

．

点评：此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质等知识点的理解和掌握，综合性较强，难易程度适中，是一道很典型的题目．