Question

数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图1，正方形ABCD的边长为12，P为边BC延长线上的一点，E为DP的中点，DP的垂直平分线交边DC于M，交边AB的延长线于N．当CP=6时，EM与EN的比值是多少？
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过E作直线平行于BC交DC，AB分别于F，G，如图2，则可得：

DF

FC

=

DE

EP

，因为DE=EP，所以DF=FC．可求出EF和EG的值，进而可求得EM与EN的比值．
（1）请按照小明的思路写出求解过程．
（2）小东又对此题作了进一步探究，得出了DP=MN的结论，你认为小东的这个结论正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）过E作EG∥BC交DC、AB分别于F、G，如图2，结合平行线分线段成比例定理则可得：

DF

FC

=

DE

EP

，因为DE=EP，可知所以DF=FC，可求出EF和EG的值，再利用AB∥CD，可得EM：EN=EF：EG，进而可求得EM与EN的比值；
（2）作MH∥BC交AB于点H，先利用AB∥CD，可得∠MNH=∠CMN，结合对顶角的性质，易得∠MNH=∠CMN=∠DME=90°-∠CDP，而∠DPC=90°-∠CDP，那么∠DPC=∠MNH，再加上一对直角，和一组对应边（HM=CD），可证两三角形△DPH和△MNH全等，从而有DP=MN．

解答：（1）解：过E作直线GE平行于BC交DC，AB分别于点F，G，（如图2）
则

DF

FC

=

DE

EP

，

EM

EN

=

EF

EG

，GF=BC=12，
∵DE=EP，
∴DF=FC，
∴EF=

1

2

CP=

1

2

×6=3，EG=GF+EF=12+3=15，
∴

EM

EN

=

EF

EG

=

3

15

=

1

5

；

（2）证明：正确，
作MH∥BC交AB于点H，（如图1）
则MH=CB=CD，∠MHN=90°，
∵∠DCP=180°-90°=90°，
∴∠DCP=∠MHN，
∵NE是DP的垂直平分线，
∵∠MNH=∠CMN=∠DME=90°-∠CDP，∠DPC=90°-∠CDP，
∴∠DPC=∠MNH，
∴△DPC≌△MNH，
∴DP=MN．

点评：本题利用了平行线分线段成比例定理、三角形中位线定理、平行线性质、全等三角形的判定和性质等知识．关键是作合适的辅助线，使所求的线段在一个三角形中．