Question

16．已知某二次函数的图象与x轴分别相交于点A（-3，0）和点B（1，0），与y轴相交于C（0，-3m）（m＞0），顶点为点D．
（1）求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）；
（2）如图①，当m=2时，点P为第三象限内抛物线上的一个动点，设△APC的面积为S，试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值；
（3）如图②，当m取何值时，以A、D、C三点为顶点的三角形与△OBC相似？

Answer 1

分析 （1）因为二次函数的图象与x轴分别相交于点A（-3，0）和点B（1，0），所以可以设该二次函数的解析式为y=a（x+3）（x-1），把C（0，-3m）代入，求出a即可．
（2）如图1中，过点P作PE⊥x轴于点E，交AC于点F，求出直线AC的解析式，则点P的坐标为（x，2x²+4x-6），点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，-2x-6），根据S=$\frac{1}{2}$×3×（PE-PF）=$\frac{3}{2}$[（-2x-6）-（2x²+4x-6）]=-3（x+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{4}$，利用二次函数的性质即可解决问题．
（3）如图2中，由题意AC²=（-3-0）²+（3m）²=9+9m²，AD²=（-3+1）²+（4m）²=4+16m²，CD²=（1）²+（-3m+4m）²=1+m²，因为△OBC是直角三角形，所以欲使得以A、D、C三点为顶点的三角形与△OBC相似，所以△ACD必须是直角三角形，利用勾股定理分两种情形列出方程即可解决问题．

解答 解：（1）∵二次函数的图象与x轴分别相交于点A（-3，0）和点B（1，0），
∴设该二次函数的解析式为y=a（x+3）（x-1），
∵该二次函数与y轴相交于C（0，-3m），
∴-3a=-3m，
∴a=m，
∴设该二次函数的解析式为y=m（x+3）（x-1）=mx²+2mx-3m．

（2）如图1中，过点P作PE⊥x轴于点E，交AC于点F，

当m=2时，点C的坐标为（0，-6），该二次函数的解析式为y=2x²+4x-6，
∵点A（-3，0），点C的坐标为（0，-6），
∴直线AC的解析式为y=-2x-6，
∵点P为第三象限内抛物线上的一个动点且点P的横坐标为x（-3＜x＜0）．
∴点P的坐标为（x，2x²+4x-6），点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，-2x-6），
S=$\frac{1}{2}$×3×（PE-PF）=$\frac{3}{2}$[（-2X-6）-（2x²+4x-6）]=-3（x+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{4}$，
∵-3＜0，
∴当x=-$\frac{3}{2}$时，S有最大值$\frac{27}{4}$；

（3）如图2中，

∵y=m（x+3）（x-1）=m（x²+2x-3）=m（x+1）²-4m，
∴点D的坐标为（-1，-4m），
∴AC²=（-3-0）²+（3m）²=9+9m²，
AD²=（-3+1）²+（4m）²=4+16m²，
CD²=（1）²+（-3m+4m）²=1+m²，
∵△OBC是直角三角形，
∴欲使得以A、D、C三点为顶点的三角形与△OBC相似，
∴△ACD必须是直角三角形，
①当∠ACD=90°时，∵AC²+CD²=AD²，
∴9+9m²+1+m²=4+16m²，
解得m=±1，
∵m＞0，
∴m=1，
此时$\frac{AC}{CD}$=3，$\frac{CO}{OB}$=3，
∴$\frac{AC}{CD}$=$\frac{CO}{OB}$，∵∠ACD=∠COB=90°，
∴△ACD∽△COB，符合题意．
②当∠ADC=90°，则AD²+CD²=AC²，
即4+16m²+1+m²=9+9m²，
解得：m=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∵m＞0，
∴m=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
此时，$\frac{AD}{CD}$=2$\sqrt{2}$，$\frac{CO}{OB}$=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，
∴$\frac{AD}{CD}$≠$\frac{CO}{OB}$，
显然△ACD与△OBC不相似，不符合题意，
∴综上所述，只有当m=1时，以A、D、C三点为顶点的三角形与△OBC相似．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、待定系数法、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考压轴题．