Question

【题目】在数学活动课上，研究用正多边形镶嵌平面．请解决以下问题：

(1)用一种正多边形镶嵌平面

例如，用 6 个全等的正三角形镶嵌平面，摆放方案如图所示：

若用 m 个全等的正 n 边形镶嵌平面，求出 m，n 应满足的关系式；

(2)用两种正多边形镶嵌平面

若这两种正多边形分别是边长相等的正三角形和正方形，请画出两种不同的摆放方案；

(3)用多种正多边形镶嵌平面

若镶嵌时每个顶点处的正多边形有 n 个，设这 n 个正多边形的边数分别为 x1，x2，…，xn，求出 x1，x2，…，xn 应满足的关系式．(用含 n 的式子表示)

Answer 1

【答案】（1）2m+2n=mn （2）见解析 （3）++…+=

【解析】

利用m、n表示多边形内角和即可得；

根据题意画出图形即可；

若镶嵌时每个顶点处的正多边形有 n 个，则把每个正多边形的内角加一起是360°，列出式子进行变形.

解：（1）正边形的内角和为，

故每个内角的度数为，

依题意得：，

整理得：，

即；

（2）如图：

（3）若镶嵌时每个顶点处的正多边形有 n 个，则

＝360°

180°n－＝360°

＋…＋.