Question

【题目】已知，如图，在△ABC中，AC的垂直平分线与∠ABC的角平分线交于点D，

（1）如图1，判断∠BAD和∠BCD之间的数量关系，并说明理由；

（2）如图2，若∠DAC＝60°时，探究线段AB，BC，BD之间的数量关系，并说明理由；

（3）如图3，在（2）的条件下，DA和CB的延长线交于点E，点F是CD上一点且DF＝AE，连接AF交BD于点G，若CE＝9，求DG的长．

Answer 1

【答案】（1）∠BAD+∠BCD＝180°，见解析；（2）BD＝AB+BC，见解析；（3）.

【解析】

（1）过点D作DG⊥BC于点G，DH⊥BA于点H，根据HL可证明△ADH≌△CDG，可得∠HAD＝∠DCG，得出∠BAD+∠BCD＝180°；

（2）在BD上截取BF＝AB，证明△ABF为等边三角形，△ADC为等边三角形，再证明△ABC≌△AFD，可得出DF＝BC，则BD＝BF+DF＝AB+BC．

（3）延长FD至点M，使DM＝DF，证明△EAC≌△MDA，可得AM＝CE，∠MAD＝∠ECA，可由DG＝得出结果．

（1）∠BAD+∠BCD＝180°，理由如下：

如图1，过点D作DG⊥BC于点G，DH⊥BA于点H，

∵AC的垂直平分线与∠ABC角平分线的交于点D，

∴AD＝DC，∠ABD＝∠DBC，

∴DH＝DG，

∴Rt△ADH≌Rt△CDG（HL），

∴∠HAD＝∠DCG，

∵∠BAD+∠HAD＝180°，

∴∠BAD+∠DCG＝180°，

即∠BAD+∠BCD＝180°；

（2）BD＝AB+BC，理由如下：

如图2，在BD上截取BF＝AB，连结AF，

由（1）知∠BAD+∠BCD＝180°，

∴∠ABC+∠DAC＝180°，

∵∠DAC＝60°，

∴∠ABC＝120°，

∴∠ABD＝∠DBC＝60°，

∴△ABF为等边三角形，

∴AB＝AF＝BF，∠BAF＝60°，

∵AD＝DC，

∴△ADC为等边三角形，

∴AD＝AC，∠DAC＝60°，

∴∠DAF＝∠BAC，

∴△ABC≌△AFD（SAS），

∴DF＝BC，

∴BD＝BF+DF＝AB+BC．

（3）由（2）知∠DAC＝∠DBC＝60°，如图3，延长FD至点M，使DM＝DF，

∴∠ACB＝∠ADB，

∵DM＝DF，DF＝AE，

∴DM＝AE，

∵∠DAC＝∠ADC＝60°，

∴∠ADM＝∠EAC＝120°，

∵AC＝AD，

∴△EAC≌△MDA（SAS），

∴AM＝CE，∠MAD＝∠ECA，

∴∠MAD＝∠ADB，

∴DG∥AM，

∵DF＝DM，

∴AG＝GF，

∴．