Question

建立平面直角坐标系（如图所示），OA=OB，点P自点A出发沿线段AB匀速运动至点B停止，同时点D自原点出发沿x轴正方向匀速运动，在点P、D运动的过程中，始终满足PO=PD，过点O、D向AB作垂线，垂足分别为点C、E，设OD的长为x
（1）求AP的长（用含x的代数式表示）
（2）在点P、D运动的过程中，线段PC与BE是否相等？若相等，请给予证明；若不相等，请说明理由；
（3）设以点P、O、D、E为顶点的四边形面积为y，请直接写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）首先作辅助线PG⊥x轴于点G，PF⊥y轴于点F．因为在Rt△APF中PF=AP•sin45°，在等腰三角形POD中，OG=

x

2

．那么通过矩形FPGO的两对边FP=OG建立AP与OD间的联系．列出AP关于x的关系式．
（2）分0≤x＜10，10≤x≤20两种情况，根据图形求得PC、BE用x表示的表达式，验证相同．
（3）分0≤x＜10，10≤x≤20两种情况，结合图形求得四边形PODE面积用x表示表达式．

解答：解：（1）作PG⊥x轴于点G，PF⊥y轴于点F，
在Rt△APF中，
∵OA=OB，
∴∠PAF=45°，
∴PF=AP•sin45°=

2

2

AP，
∵OG=PF，即

x

2

=

2

2

AP，
∴AP=

2

2

x （2分）；

（2）结论：PC=BE．
①当0≤x＜10时，
∵PC=AC-AP=5

2

-

2

2

x，BE=

2

2

BD=

2

2

（10-x）=5 

2

- 

2

2

x，
∴PC=BE，

②当10≤x≤20时，如上图
∵PC=AP-AC=

2

2

x-5

2

，BE=

2

2

BD=

2

2

（x-10）=

2

2

x-5

2

，
∴PC=BE，
综合①②PC=BE；

（3）①当0＜x＜10时，
S_{四边形PODE}=S_△AOB-S_△AOP-S_△DEB，
=

1

2

×10×10-

1

2

×10×

x

2

 -

1

2

×(10-x)×

1

2

(10-x)，
=-

1

4

x²+

5

2

x+25，
②当10≤x≤20时，
S_{四边形PODE}=S_△POD+S_△DOE
=

1

2

x（10-

x

2

）+

1

2

x•

x-10

2

，
=

5

2

x．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到求几何图形面积通过几个三角形的面积求得．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．