Question

如图，直线AC：y=

3

3

x+

4 3

3

与y轴交于点M，y轴垂直平分BC于D，AB=BC=4，∠BAO=60°
（1）求C点坐标；
（2）动点P从A出发，以2个单位每秒的速度沿AC运动到C点，运动时间为t秒（t＞0），设PM的长为d，求d与t的函数解析式，直接写出自变量的取值范围；
（3）在（2）的条件下，是否存在t值，使△PCB为等腰三角形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题,等腰三角形的性质

专题：

分析：（1）由y轴垂直平分BC于D，AB=BC=4，得出C点的横坐标为2，代入解析式即可求得；
（2）先求出点A，点M，点C的坐标，求出AM，CM，①当0＜t≤

4 3

3

时，d=

8 3

3

-2t，②当

4 3

3

＜t≤2

3

时，d=2t-

8 3

3

，
（3）△PCB为等腰三角形，分类讨论：①当PC=BC时；②当PB=PC时；③PB=BC（不符合题意，舍去）；逐个求解．

解答：解（1）∵y轴垂直平分BC于D，AB=BC=4，
∴C点的横坐标为2，
∴y=

3

3

×2+

4 3

3

=2

3

，
∴点C的坐标为（2，2

3

），

（2）∵直线AC：y=

3

3

x+

4 3

3

与y轴交于点M，与x轴交于点A，
∴A点的坐标为（-4，0），M点的坐标为（0，

4 3

3

），
∴AM=

42+( 4 3 3 )2

=

8 3

3

，
∵点C的坐标为（2，2

3

），
∴CM=

(2 3 - 4 3 3 )2+22

=

4 3

3

，
①当0＜t≤

4 3

3

时，
d=

8 3

3

-2t，
②当

4 3

3

＜t≤2

3

时，
d=2t-

8 3

3

，

（3）①∵BC=4，
∴当PC=4时，△PCB为等腰三角形，
d=AC-CP=4

3

-4，
代入d=

8 3

3

-2t，
得4

3

-4=

8 3

3

-2t．
解得t=2-

2 3

3

，
∴当t=2-

2 3

3

时，△PCB为等腰三角形，
②∵y轴垂直平分BC于D，
∴当P点到达M点时，△PCB为等腰三角形，
即t=

8 3

3

÷2=

4 3

3

，
∴使△PCB为等腰三角形的t的值为：2-

2 3

3

或

4 3

3

．

点评：本题主要考查了一次函数的综合题，解题的关键是要注意分段讨论函数关系式．