Question

18．如图所示，在三角形ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，DF过EC的中点G并与BC的延长线交于点F，BE与DE交于点O．若△ADE的面积为2，则四边形BOGC的面积为$\frac{7}{2}$．

Answer 1

分析 由 点D、E分别是边AB、AC的中点，可得DE∥BC，DE=$\frac{1}{2}$BC，即可得△ADE∽△ABC与△ODE∽△OFB，又由EC的中点是G，则可得△DEG≌△FCG，然后由相似三角形的面积比等于相似比的平方与等高三角形的面积比等于对应底的比即可求得答案．

解答 解：∵点D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DE=$\frac{1}{2}$BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}$${（\frac{DE}{BC}）}^{2}$=$\frac{1}{4}$，
∵△ADE的面积为S，
∴S_△ABC=4S，
∵DE∥BC，
∴△ODE∽△OFB，∠EDG=∠F，∠DEG=∠GCF，
∴$\frac{DE}{BF}$=$\frac{OE}{OB}$，
又EG=CG，
∴△DEG≌△FCG（AAS），
∴DE=CF，
∴BF=3DE，
∵DE∥BC，
∴△ODE∽△OFB，
∴$\frac{OE}{OB}$=$\frac{DE}{BF}$=$\frac{1}{3}$，
∵AD=BD，
∴S_△BDE=S_△ADE=S，
∵AE=CE=2EG，
∴S_△DEG=$\frac{1}{2}$S_△ADE=$\frac{1}{2}$×2=1，
∵$\frac{OE}{OB}$═$\frac{1}{3}$，
∴S_△ODE=$\frac{1}{4}$S_△BDE=$\frac{1}{4}$×2=$\frac{1}{2}$，
∴S_△OEG=S_△DEG-S_△ODE=$\frac{1}{4}$×2=$\frac{1}{2}$，
∵S_{四边形DBCE}=S_△ABC-S_△ADE=6，
∴S_{四边形OBCG}=S_{四边形DBCE}-S_△BDE-S_△OEG=6-2-$\frac{1}{2}$=$\frac{7}{2}$，
故答案为：$\frac{7}{2}$．

点评 此题考查了三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质以及全等三角形与相似三角形的判定与性质等知识．此题综合性较强，解题的关键是数形结合思想的应用，还要注意相似三角形的面积比等于相似比的平方与等高三角形的面积比等于对应底的比．