Question

7．如图，直线l₁解析式为y=x+2，且与坐标轴分别交于A、B两点，与双曲线交于点P（-1，1）．点M是双曲线在第四象限上的一点，过点M的直线l₂与双曲线只有一个公共点，并与坐标轴分别交于点C、点D，当四边形ABCD的面积取最小值时，则点M的坐标为（　　）

• A． （1，-1）
• B． （2，-$\frac{1}{2}$）
• C． （3，-$\frac{1}{3}$）
• D． 不能确定

Answer 1

分析 先求出A、B两点的坐标，有P（-1，1）在反比例函数图象上求得解析式为y=-$\frac{1}{x}$，设M点横坐标为a，进而可得M点坐标（a，-$\frac{1}{a}$）；再设直线l₂的解析式为y=bx+c，根据条件“过点M的直线l₂与双曲线只有一个公共点”，将M点坐标代入直线l₂的解析式，求得用a表示的C、D两点坐标．由A、B、C、D四点坐标，可得AC、BD的长，因为AC⊥BD，有S_{四边形ABCD}=$\frac{1}{2}$AC•BD，据此得到一个关于a的式子，通过化简、配方即可求得S_{四边形ABCD}的最小值，故可得出a的值，由此得出结论．

解答 解：∵直线l₁解析式为y=x+2，且与坐标轴分别交于A、B两点，
∴A（-2，0），B（0，2）．
设反比例函数的解析式为y=$\frac{k}{x}$，
∵点P（-1，1）在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴k=xy=-1．
∴反比例函数的解析式为y=-$\frac{1}{x}$．
∵点M在第四象限，且在反比例函数y=-$\frac{1}{x}$的图象上，
∴可设点M的坐标为（a，-$\frac{1}{a}$），其中a＞0．
设直线l₂的解析式为y=bx+c，
则ab+c=-$\frac{1}{a}$．
∴c=-$\frac{1}{a}$-ab．
∴y=bx-$\frac{1}{a}$-ab．
∵直线y=bx-$\frac{1}{a}$-ab与双曲线y=-$\frac{1}{x}$只有一个交点，
∴方程bx-$\frac{1}{a}$-ab=-$\frac{1}{x}$即bx²-（$\frac{1}{a}$+ab）x+1=0有两个相等的实根．
∴[-（$\frac{1}{a}$+ab）]²-4b=（$\frac{1}{a}$+ab）²-4b=（$\frac{1}{a}$-ab）²=0．
∴$\frac{1}{a}$=ab．
∴b=$\frac{1}{{a}^{2}}$，c=-$\frac{2}{a}$．
∴直线l₂的解析式为y=$\frac{1}{{a}^{2}}$x-$\frac{2}{a}$．
∴当x=0时，y=-$\frac{2}{a}$，则点D的坐标为（0，-$\frac{2}{a}$）；
当y=0时，x=2a，则点C的坐标为（2a，0）．
∴AC=2a-（-2）=2a+2，BD=2-（-$\frac{2}{a}$）=2+$\frac{2}{a}$．
∵AC⊥BD，
∴S_{四边形ABCD}=$\frac{1}{2}$AC•BD
=$\frac{1}{2}$（2a+2）（2+$\frac{2}{a}$）
=4+2（a+$\frac{1}{a}$）
=4+2[（$\sqrt{a}$-$\frac{1}{\sqrt{a}}$）²+2]
=8+2（$\sqrt{a}$-$\frac{1}{\sqrt{a}}$）²．
∵（$\sqrt{a}$-$\frac{1}{\sqrt{a}}$）²≥0，
∴S_{四边形ABCD}≥8，
∴当且仅当（$\sqrt{a}$-$\frac{1}{\sqrt{a}}$）²=0，即a=1时，四边形有最小值，
∴M（1，-1）．
故选A．

点评 本题考查的是反比例函数综合题，涉及到用待定系数法求反比例函数及一次函数的解析式、根的判别式、双曲线与直线的交点等知识，考查了用配方法求代数式的最值，突出了对能力的考查，是一道好题．