Question

18．如图，点B在线段AF上，等边三角形ABC边长为1，菱形CDEF边长为$\sqrt{7}$，且∠DCF=120°．则△ACD的面积是$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 先过A作AG⊥DC，交DC的延长线于G，过B作BH⊥CF于H，过C作CQ⊥AB于Q，则∠CGA=∠CHB=90°，根据△ABC为等边三角形，可得AC=BC，∠ACG=∠BCH，进而判定△CGA≌△CHB，即可得到AG=BH，再根据CD=CF，可得S_△ACD=S_△BCF，因此求得△BCF的面积即可得到△ACD的面积．

解答 解：如图所示，过A作AG⊥DC，交DC的延长线于G，过B作BH⊥CF于H，过C作CQ⊥AB于Q，则∠CGA=∠CHB=90°，
∵∠DCF=120°，
∴∠GCF=60°，
又∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=60°，AC=BC，
∴∠ACG=∠BCH，
在△CGA和△CHB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACG=∠BCH}\\{∠CGA=∠CHB}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△CGA≌△CHB（AAS），
∴AG=BH，
又∵菱形CDEF中，CD=CF，
∴S_△ACD=S_△BCF，
∵等边三角形ABC边长为1，
∴QB=$\frac{1}{2}$，CQ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又∵CF=$\sqrt{7}$，
∴Rt△CFQ中，QF=$\sqrt{C{F}^{2}-C{Q}^{2}}$=$\frac{5}{2}$，
∴BF=$\frac{5}{2}$-$\frac{1}{2}$=2，
∴S_△BCF=$\frac{1}{2}$BF×CQ=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴△ACD的面积是$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质以及三角形面积的计算，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，依据全等三角形的对应边相等以及菱形的边长相等，即可将△ACD的面积转化为△BCF的面积．