Question

能否把正整数1至10摆放到一个圆周上，使得其中任何两个相间一个数的数的和（a_i+a_i+2）都是3的倍数？

Answer 1

分析：假设把正整数1至10摆放到一个圆周上，能够使得其中任何两个相间一个数的数的和（a_i+a_i+2）都是3的倍数，那么这十个数之和的2倍就该是3的倍数，从而得出矛盾，进而得出结论．

解答：解：不能把正整数1到10摆放到一个圆周上，使得其中任何两个相间一个数的数和都是3的倍数．理由如下：
用a_i（i=1，2，3，…，10）表示正整数1至10，将正整数1至10任意摆放到一个圆周上，如图，假设此时其中任何两个相间一个数的数的和（a_i+a_i+2）都是3的倍数，
那么a₁+a₃，a₂+a₄，a₃+a₅，a₄+a₆，a₅+a₇，a₆+a₈，a₇+a₉，a₈+a₁₀，a₉+a₁，a₁₀+a₂，都是3的倍数，
所以（a₁+a₃）+（a₂+a₄）+（a₃+a₅）+（a₄+a₆）+（a₅+a₇）+（a₆+a₈）+（a₇+a₉）+（a₈+a₁₀）+（a₉+a₁）+（a₁₀+a₂）=2（a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆+a₇+a₈+a₉+a₁₀）是3的倍数，
而2（a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆+a₇+a₈+a₉+a₁₀）=2×（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）=110，不是3的倍数，
所以假设不成立．
故不能把正整数1至10摆放到一个圆周上，使得其中任何两个相间一个数的数的和（a_i+a_i+2）都是3的倍数．

点评：本题考查了数的整除性，属于竞赛题型，有一定难度，根据整除的性质及已知条件得出这十个数之和的2倍就该是3的倍数是解题的关键．