Question

【题目】赣县田村素称“灯彩之乡”，田村花灯源于唐代，盛于宋朝，迄今已有1300多年历史了，某公司生产了一种田村花灯，每件田村花灯制造成本为20元．设销售单价x（元），每日销售量y（件）、每日的利润w（元）．在试销过程中，每日销售量y（件）、每日的利润w（元）与销售单价x（元）之间存在一定的关系，其几组对应量如下表所示：

销售单价x（元）	30	31	32	40
销售量y（件）	40	38	36	20

（1）根据表中数据的规律、分別写出每日销售量y（件）、每日利润w（元）关于销售单价x（元）之间的函数表达式（利润＝（销售单价﹣成本单价）×销售件数）．

（2）当销售单价为多少元时，公司每日能够获得最大利润？最大利润是多少？

Answer 1

【答案】（1）每日销售量y（件关于销售单价x（元）之间的函数表达式为y＝﹣2x+100；

每日利润w（元）关于销售单价x（元）之间的函数表达式为w＝﹣2x2+140x﹣2000；

（2）当销售单价为35元时，每日能获得最大利润450元．

【解析】

（1）观察表中数据，发现y与x之间存在一次函数关系，设y＝kx＋b，将表中的两组数据代入，求得k和b，则每日销售量y（件关于销售单价x（元）之间的函数表达式可得；根据每件的利润乘以销售量等于利润，可得利润函数；

（2）将（1）中的二次函数写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．

解：（1）观察表中数据，发现y与x之间存在一次函数关系，设y＝kx+b

则

解得：

∴每日销售量y（件关于销售单价x（元）之间的函数表达式为y＝﹣2x+100；

∴w＝（x﹣20） y

＝（x﹣20）（﹣2x+100）

＝﹣2x2+140x﹣2000

∴每日利润w（元）关于销售单价x（元）之间的函数表达式为w＝﹣2x2+140x﹣2000；

（2）∵w＝﹣2x2+140x﹣2000

＝﹣2（x﹣35）2+450

∴当销售单价为35元时，每日能获得最大利润450元．