【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,D是边BC的中点,DE⊥AC,垂足为点 E.
(1)求证:DECD=ADCE;
(2)设F为DE的中点,连接AF、BE,求证:AFBC=ADBE.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.
【解析】
(1)由AB=AC,D是边BC的中点,利用等腰三角形的性质可得出∠ADC=90°,由同角的余角相等可得出∠ADE=∠DCE,结合∠AED=∠DEC=90°可证出△AED∽△DEC,再利用相似三角形的性质可证出DECD=ADCE;
(2)利用等腰三角形的性质及中点的定义可得出CD=BC,DE=2DF,结合DECD=ADCE可得出,结合∠BCE=∠ADF可证出△BCE∽△ADF,再利用相似三角形的性质可证出AFBC=ADBE.
(1)∵AB=AC,D是边BC的中点,
∴AD⊥BC,
∴∠ADC=90°,
∴∠ADE+∠CDE=90°.
∵DE⊥AC,
∴∠CED=90°,
∴∠CDE+∠DCE=90°,
∴∠ADE=∠DCE.
又∵∠AED=∠DEC=90°,
∴△AED∽△DEC,
∴,
∴DECD=ADCE;
(2)∵AB=AC,
∴BD=CD=BC,
∵F为DE的中点,
∴DE=2DF.
∵DECD=ADCE,
∴2DFBC=ADCE,
∴,
又∵∠BCE=∠ADF,
∴△BCE∽△ADF,
∴,
∴AFBC=ADBE.
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【题目】如图,在平行四边形ABCD中,AD>AB.
(1)作出∠ABC的平分线(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);
(2)若(1)中所作的角平分线交AD于点E,AF⊥BE,垂足为点O,交BC于点F,连接EF.求证:四边形ABFE为菱形.
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【题目】如图,我国海监船在钓鱼岛附近的O处观测到一可疑船正匀速直线航行我国海域,当该可疑船位于点O的北偏东30°方向上的点A处(OA=20km)时,我方开始向对方喊话,但该可疑船仍匀速航行,40min后,又测得该可疑船位于点O的正北方向上的点B处,且OB=20km,求该可疑船航行的速度.
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【题目】元旦期间,某宾馆有50个房间供游客居住,当每个房间每天的定价为180元时,房间会全部住满;当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空闲.如果游客居住房间,宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用.
(1)若房价定为200元时,求宾馆每天的利润;
(2)房价定为多少时,宾馆每天的利润最大?最大利润是多少?
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线l1:y=﹣x与反比例函数y=的图象交于A,B两点(点A在点B左侧),已知A点的纵坐标是2;
(1)求反比例函数的表达式;
(2)根据图象直接写出﹣x>的解集;
(3)将直线l1:y=- x沿y向上平移后的直线l2与反比例函数y=在第二象限内交于点C,如果△ABC的面积为30,求平移后的直线l2的函数表达式.
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【题目】市移动通讯公司开设了两种通讯业务: “全球通” 使用者先缴50元月基础费, 然后每通话1分钟, 再付电话费0.4元; “神州行” 不缴月基础费, 每通话1分钟, 付话费0.6元(这里均指市内通话). 若一个月内通话x分钟, 两种通讯方式的费用分别为y1元和y2元.
(1)写出y1、y2与x之间的函数关系式;
(2)一个月内通话多少分钟, 两种通讯方式的费用相同?
(3)若某人预计一个月内使用话费200元, 则应选择哪种通讯方式较合算?
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【题目】如图,以G(0,1)为圆心,半径为2的圆与x轴交于A、B两点,与y轴交于C、D两点,点E为⊙G上一动点,CF⊥AE于F.当点E从点B出发顺时针运动到点D时,点F所经过的路径长为( )
A. B. C. D.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中有一直角三角形AOB,O为坐标原点,OA=1,tan∠BAO=3,将此三角形绕原点O逆时针旋转90°,得到△DOC,抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P是第二象限内抛物线上的动点,其横坐标为t,设抛物线对称轴l与x轴交于一点E,连接PE,交CD于F,求以C、E、F为顶点三角形与△COD相似时点P的坐标.
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【题目】△ABC,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,一条直线DE与边AC相交于点D,与边AB相交于点E.
(1)如图①,若DE将△ABC分成周长相等的两部分,则AD+AE等于多少;(用a、b、c表示)
(2)如图②,若AC=3,AB=5,BC=4.DE将△ABC分成周长、面积相等的两部分,求AD;
(3)如图③,若DE将△ABC分成周长、面积相等的两部分,且DE∥BC,则a、b、c满足什么关系?
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