Question

已知四边形ABCD是矩形，AB是⊙O的直径，E是⊙O上一点，过点E作EF⊥DC于点F．若DF=EF=10，且

AE

=

1

3

AB

，则矩形ABCD中AD的长度为（　　）

• A、10（

  3

  -1）
• B、10（

  3

  +1）
• C、20或10（

  3

  -1）
• D、10（

  3

  -1）或10（

  3

  +1）

Answer 1

考点：垂径定理,矩形的性质,解直角三角形

专题：

分析：延长EF交AB于G，连接AE，BE，因为AB∥DC，EF⊥DC，得出EG⊥AB，根据直径所对的圆周角是直角求得∠AEB=90°，根据

AE

=

1

3

AB

，求得∠AEG=∠AEB=30°，然后根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求得AE=2AG=20，最后根据勾股定理求得EG，进而求得FG的长，因为AD=FG，即可求得AD的长．

解答：解：延长EF交AB于G，连接AE，BE，
∵EF⊥DC，AB∥DC，
∴EG⊥AB，AG=DF=10，
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
∵

AE

=

1

3

AB

，
∴∠ABE=30°，
∴∠AEG=30°，
∴AE=2AG=20，
∴EG=

AE2-AG2

=10

3

，
∵EF=10，
∴FG=EG-EF=10

3

-10=10（

3

-1），
∵四边形ABCD是矩形，EG⊥AB，
∴四边形AGFD是矩形，
∴AD=FG=10（

3

-1）．
故选A．

点评：本题考查了矩形的性质，直径所对的圆周角的性质，30°角所对的直角边的性质，勾股定理的应用等，本题的关键是求得∠AFG=30°．