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9.一张半径为R的半圆图纸沿它的一条弦折叠,使其弧与直径相切,如图所示,O为半圆圆心,如果切点分直径之比为3:2,则折痕长为745R.

分析 如图,作O点关于AB的对称点O′,则点O′为弧ADB所在圆的圆心,连结O′D,则O′D⊥EF,O′D=R,先利用ED:DF=3:2计算出DF=25•2R=45R,则OD=15R,再在Rt△O′OD中利用勾股定理计算出O′=265R,则OC=12O′O=2610R,然后在Rt△AOC中根据勾股定理可计算出AC=7410R,再利用垂径定理可得AB=2AC=745R.

解答 解:如图,作O点关于AB的对称点O′,则点O′为弧ADB所在圆的圆心,
连结O′D,则O′D⊥EF,O′D=R,
∵ED:DF=3:2,
∴DF=25•2R=45R,
∴OD=15R,
在Rt△O′OD中,OO′=15R2+R2=265R,
∴OC=12O′O=2610R,
在Rt△AOC,AC=R226R102=7410R,
∵OC⊥AB,
∴AC=BC,
∴AB=2AC=745R.
即折痕长为745R.
故答案为745R.

点评 本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.运用切线的性质来进行计算或论证,常通过作辅助线连接圆心和切点,利用垂直构造直角三角形解决有关问题.也考查了垂径定理.

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