Question

已知：如图，△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10，∠BCA的平分线与AB边的垂直平分线相交于点D，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别是E、F．
（1）求证：AE=BF；
（2）求线段DG的长．

Answer 1

分析：（1）根据中垂线、角平分线的性质来证明Rt△AED≌Rt△BFD，然后根据全等三角形的对应边相等推知AE=BF；
（2）首先根据已知得出AE的长，再利用已知得出DE=CE=7，进而得出DG²=AD²-AG²=25求出即可．

解答：（1）证明：连接AD、BD，
∵AD是∠BCA的平分线，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴DE=DF，
∵DG是AB边的垂直平分线，
∴AD=DB，
在Rt△AED和Rt△DFB中，

ED=DF AD=DB

，
∴Rt△AED≌Rt△BFD（HL），
∴AE=BF；

（2）由（1）得：CE=CF=

CA+CB

2

=7，∴AE=EC-AC=1，
∵∠ECD=∠EDC=45°，
∴DE=CE=7，
由题意可得：AG=BG=5，
∴AD²=AE²+DE²=50，
∴DG²=AD²-AG²=25，
∴DG=5．

点评：本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质和勾股定理等知识，根据已知得出DE、CE的长是解题关键．